[論文レビュー] On complex and real identifiability of tensors

Elena Angelini|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2018

Tensor decomposition and applications参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、楕円型正規曲線の存在によって一般的同定可能性が失敗する場合に、テンソルの複素および実同定可能性を調査する。代数幾何学および実代数的曲線を用いて、特定のテンソル型では、複素分解が有限かつ対称である場合、ユークリッドの開集合内で実同定可能性が回復可能であることが示され、複素分解が無限大または非実数である場合には失敗することが示される。

ABSTRACT

We report about the state of the art on complex and real generic identifiability of tensors, we describe some of our recent results obtained in [6] and we present perspectives on the subject.

研究の動機と目的

• テンソル分解における複素および実一般的同定可能性の違いを明確化すること。
• 複素非同定可能性が生じる状況でも、ユークリッドの開集合内で実同定可能性が回復可能となる条件を調査すること。
• 楕円型正規曲線の存在によって複素同定可能性が失敗するテンソル空間を分類すること。
• 複素分解が有限である場合の、実同定可能性が成立する領域の測度および構造を特定すること。
• 楕円曲線以外の要因によって複素同定可能性が失敗する場合の、実同定可能性の挙動を調査すること。

提案手法

• ランク1テンソルおよびそのセカント多様体の幾何学を用いてテンソル分解を分析する。
• 複素および実射影空間における楕円型正規曲線に関する結果を応用し、複数の複素分解を構成する。
• Proposition 2.1（Chiantini-Ciliberto, 2006）を用いて、2k-1次元空間上の一般の点が、次数2kの楕円曲線へのk-セカントP^{k-1}空間をちょうど2つ持つことを示す。
• P^{2k-1}_Rにおける実楕円型正規曲線を導入し、曲線と交わるk-セカント空間が実点および非実点にどのように交わるかに基づいて点Pを分類する。
• 実分解をセカント空間の実点と関連付けることで、この分類をテンソル空間に応用する。
• コンピュータ支援ホモトピー続行法およびモノドロミー・ループを用いて、特定の対称および部分的に対称テンソルの場合の実同定可能性を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル型およびランクにどのような条件下で、複素同定可能性が失敗してもユークリッドの開集合内で実同定可能性が成立するか。
• RQ2 楕円型正規曲線の存在が、テンソル分解の数および実数性にどのように影響するか。
• RQ3 複素同定可能性が有限非実分解によって失敗する場合、実同定可能性が成立するテンソルの集合の測度は何か。
• RQ4 楕円曲線とは関係なく、複素同定可能性が無限複素分解によって失敗する場合に、実同定可能性が回復可能か。
• RQ5 D - n_d + 1 の偶奇性が、部分的非一般的ランクの場合の実同定可能性の存在にどのように影響するか。

主な発見

• 開集合U₁において、実同定可能性が成立し、実ランクは複素ランクと等しい。
• U₂において、複素同定可能性が失敗し、実同定可能性も成立しないが、実ランクは複素ランクと一致する。
• U₃において、実ランクは複素ランクを上回り、実同定可能性に関する結論は得られない。
• 複素分解が有限で、D - n_d + 1 が偶数である場合、ユークリッドの開集合内で実同定可能性が成立する可能性がある。奇数の場合は成立しない。
• 対称ケース (C^3)^{igotimes 7}（ランク12）および (C^3)^{igotimes 8}（ランク15）において、ホモトピー続行法により実同定可能性が確認された。
• 部分的に対称ケース ((C^3)^{igotimes 3})^{igoplus 3} igoplus (C^3)^{igotimes 2}（ランク6）において、計算的検証により開集合内で実同定可能性が成立した。