[論文レビュー] On complex Gaussian random fields, Gaussian quadratic forms and sample distance multivariance

Georg Berschneider, Björn Böttcher|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2018

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、複素ガウス型確率場に由来するガウス型2次形式の正確な有限標本および漸近的モーメントを導出することにより、標本距離多変量を用いた計算的に効率的でリサンプリングを伴わない独立性検定を提案する。ガウス型2次形式のための新規な尾確率の上限を導出し、p値推定を改善することで、古典的手法やリサンプリングに基づく手法と比較して、特に高次元かつ従属的なデータにおいてより高速で、かつより保守的でない検定を実現する。

ABSTRACT

The paper contains results in three areas: First we present a general estimate for tail probabilities of Gaussian quadratic forms with known expectation and variance. Thereafter we analyze the distribution of norms of complex Gaussian random fields (with possibly dependent real and complex part) and derive representation results, which allow to find efficient estimators for the moments of the associated Gaussian quadratic form. Finally, we apply these results to sample distance multivariance, which is the test statistic corresponding to distance multivariance -- a recently introduced multivariate dependence measure. The results yield new tests for independence of multiple random vectors. These are less conservative than the classical tests based on a general quadratic form estimate and they are (much) faster than tests based on a resampling approach. As a special case this also improves independence tests based on distance covariance, i.e., tests for independence of two random vectors.

研究の動機と目的

• 標本距離多変量を用いた複数の確率的ベクトルに対する、より高速で、より保守的でない独立性検定の開発。
• 複素ガウス型確率場に由来するガウス型2次形式の正確な有限標本および漸近的モーメントの公式の導出。
• 第一および第二モーメントのみを用いて一般化された尾確率の上限を提供するガウス型2次形式のための一般化された境界の確立 — 既存手法におけるギャップを埋める。
• 計算コストの高いリサンプリングに依存せずに、距離多変量に基づく検定のp値推定を改善すること。
• 従属成分を伴う高次元設定において、実用的な実装を可能にする。

提案手法

• 第一および第二モーメントのみを用いて、固有値がパラメータαによって有界である場合に適用可能なガウス型2次形式の尾確率に対する新しい上界を導出する。
• 複素ガウス型確率場のL²ノルムの二乗を、共分散作用素の固有値に等しい係数を持つ正のガウス型2次形式として表現する。
• 共分散カーネルに基づいて、μₖ⁽ᵏ⁾ = Σᵢ αᵢᵏ の明示的公式を確立し、データからのモーメント推定を可能にする。
• これらのモーメント結果を、独立性の帰無仮説下での標本距離多変量の極限分布および有限標本分布に適用する。
• 4つのp値推定法を提案する：古典的推定、分散に基づく推定、ピアソン近似、中心極限定理近似。
• 有限標本において歪度および尖度の不偏推定量を用い、標本サイズが小さい場合には極限分布を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一および第二モーメントのみを用いて、ガウス型2次形式の一般化された尾確率の上限を導出可能か？
• RQ2 帰無仮説下で、標本距離多変量検定統計量のモーメントを効率的に計算する方法は何か？
• RQ3 高次元設定における距離多変量検定統計量の有限標本および漸近的分布は何か？
• RQ4 リサンプリングに依存せずにp値推定を改善することで、より高速で、より保守的でない独立性検定が可能か？
• RQ5 多様な従属構造において、さまざまなモーメントに基づくp値推定法の精度および保守性を比較すると、どのような差が生じるか？

主な発見

• 提案された尾確率の上限（定理2.1）は、先行手法よりもタイトで、より一般的な推定を可能にし、第一および第二モーメントのみを必要とし、すべてのx ≥ x₀（x₀ ≤ 1.5365）に対して有効である。
• 不偏有限標本推定量を用いたピアソン近似法は、ほとんどの例においてベンチマークp値との相対二乗平均誤差が最小となり、最も優れた性能を示す。
• 古典的推定および分散に基づく推定は保守的であり、特に従属的なデータ設定では古典的推定がより保守的である。
• n > 10 かつ同一分布に従う周辺分布を有するm-多変量の場合、中心極限定理法は良好な性能を示し、代替手段として有効である。
• 小標本（N < 30）では相対誤差が増加し、変動性が高いため、リサンプリングが依然として好ましい場合がある。
• 高次元（n > 30）ではピアソン近似が保守的になる傾向があるため、高次元応用には注意が必要である。