[論文レビュー] On Complex Lie Supergroups and Homogeneous Split Supermanifolds

Elizaveta Vishnyakova|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、リー超代数の奇数部が [g₁,g₁] = 0 を満たす限り、複素リー超群およびその同調的超多様体が常に分解可能であることを確立する。この超多様体の構造層が、一様ベクトル束の外積代数に同型であることを証明し、複素超幾何における重要な構造的問題を解決するための、同調的超多様体が分解可能であるための必要十分条件を提示する。

ABSTRACT

It is well known that the category of real Lie supergroups is equivalent to the category of the so-called (real) Harish-Chandra pairs. That means that a Lie supergroup depends only on the underlying Lie group and its Lie superalgebra with certain compatibility conditions. More precisely, the structure sheaf of a Lie supergroup and the supergroup morphisms can be explicitly described in terms of the corresponding Lie superalgebra. In this paper, we give a proof of this result in the complex-analytic case. Furthermore, if $(G,\mathcal{O}_G)$ is a complex Lie supergroup and $H\subset G$ is a closed Lie subgroup, i.e. it is a Lie subsupergroup of $(G,\mathcal{O}_G)$ and its odd dimension is zero, we show that the corresponding homogeneous supermanifold $(G/H,\mathcal{O}_{G/H})$ is split. In particular, any complex Lie supergroup is a split supermanifold. It is well known that a complex homogeneous supermanifold may be non-split. We find here necessary and sufficient conditions for a complex homogeneous supermanifold to be split.

研究の動機と目的

• 実リー超群とハリシ・チャンドラ対の間の既知の同値関係を、複素解析的設定に拡張すること。
• 複素同調的超多様体がいつ分解可能であるかを特定することにより、超幾何学における長年の問いに応えること。
• 複素リー超群およびその同調的空間の構造層の構造を特徴づけること。
• 表現論的データを用いて、複素同調的超多様体の分解可能性の完全な基準を提供すること。
• リー超代数の奇数部が超多様体の分解挙動を決定する役割を明確にすること。

提案手法

• ハリシ・チャンドラ対の理論を複素解析的カテゴリに適応し、複素リー超群がその基になるリー群および適合条件を満たすリー超代数によって分類されることを示す。
• ベクトル場と超多様体上の接ベクトルを関係付けるために、評価写像 ev_x: 𝔛(M) → T_x(M) を用いた接空間の構成を用いる。
• ベクトル束 E に対して O_M ≅ ∧E という層論的同型を用いて、分解可能な超多様体を定義する。
• リー超群 (G,O_G) が超多様体 (M,O_M) 上に、写像 ν: (G,O_G)×(M,O_M) → (M,O_M) を通じて作用することを分析し、推移的作用を保証する。
• 表現 ψ:H → GL((g₁/h₁)*) を構成し、同調的空間 G/H 上のベクトル束 E^ψ のセクション層を分類する。
• [g₁,g₁] = 0 の条件を適用することで、分解のコホモロジー的障害が消滅し、O_M ≅ ∧E^ψ という同型が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素同調的超多様体がいつ分解可能か。
• RQ2 すべての複素リー超群は分解可能な超多様体か。
• RQ3 複素リー超群のリー超代数と、その同調的超多様体の分解の関係は何か。
• RQ4 同調的超多様体の分解は、固定部分群の表現論的データで特徴づけられるか。
• RQ5 リー超代数の奇数部が超多様体の分解挙動を決定する役割を果たすか。

主な発見

• すべての複素リー超群は、実の場合の一般化として、複素解析的設定において分解可能な超多様体である。
• 複素同調的超多様体 (G/H, O_{G/H}) は、[g₁,g₁] = 0 であるときにかつそのときに限り分解可能であり、ここで g₁ はリー超代数の奇数部である。
• 構造層 O_{G/H} は、表現 ψ:H → GL((g₁/h₁)*) に付随する同調的ベクトル束 E^ψ のセクション層の外積代数に同型である。
• 表現 ψ は明示的に ψ(h)(v)(X + h₁) = v(Ad_G(h⁻¹)(X) + h₁) と与えられ、分解が随伴作用に関連している。
• 複素射影超空間 ℂP^{1|2} は、その基になるリー超代数が [g₁,g₁] = 0 を満たすため、分解可能である。
• 非分解可能な超多様体は存在する。例えば、t ≥ 1 かつ s ≥ 2 のときの、非特異的超グラスマン多様体 IG_{n|n,s|t}(ℂ) や、特定のフラッグ超多様体がその例であり、分解可能性が常に成り立つわけではないことを確認する。