[論文レビュー] On complex structures in physics

Andrzej Trautman|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 1998

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 8被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、素因数物理学における複素構造の幾何的起源を調査し、量子力学、一般相対性理論、スピンルール理論におけるそれらの出現に焦点を当てる。ローレンツ多様体における非せん断性ゼロ測地線束がコーシー・リーマン構造を生じることを示し、複素幾何と物理的時空の間の関係を確立する。また、このような幾何におけるマクスウェル方程式が、正則バンドルの閉じた断面を見つける問題に還元されることを証明し、CR構造の埋め込み可能性が非自明な解の存在を決定することを示す。

ABSTRACT

Complex numbers enter fundamental physics in at least two rather distinct ways. They are needed in quantum theories to make linear differential operators into Hermitian observables. Complex structures appear also, through Hodge duality, in vector and spinor spaces associated with space-time. This paper reviews some of these notions. Charge conjugation in multidimensional geometries and the appearance of Cauchy-Riemann structures on Lorentz manifolds with a congruence of null geodesics without shear are presented in considerable detail.

研究の動機と目的

• 代数的用途を超えて、物理学における複素数の幾何的起源を理解すること。
• ホッジ双対性および非せん断性ゼロ測地線束を通じて、時空幾何における複素構造が自然に生じる仕組みを調査すること。
• 量子力学およびゲージ理論における複素構造の役割、特にU(1)対称性および電荷共役ととの関係を明確化すること。
• ローレンツ多様体における光学幾何とリーマン空間におけるヘルミート幾何との間の対応を確立すること。
• 3次元CR構造がその正則バンドルに閉じた非自明な断面をもつことと、局所的に埋め込めることが同値であるという予想を定式化し、検証すること。

提案手法

• 自己同型 J が J² = -id を満たすことで、実ベクトル空間に複素構造を定義し、その複素化への拡張により W₊ および W₋ の部分空間を定義する。
• クリフォード・ホッジ・カーラー双対性を用いて、計量の符号に依存してスピンルールおよび多ベクトル空間に複素構造を誘導する。
• 高次元時空における電荷共役を分析し、スピンルール表現における複素構造と関連付ける。
• 微分形式 μ、λ、ξ の引き戻しを用いて、CR構造からローレンツ計量を構成し、その計量が非せん断性ゼロ測地線束を含むことを保証する。
• マクスウェル方程式の解法を、CR多様体の正則バンドルの閉じた断面を見つける問題に還元する。埋め込み可能である場合、解は f(z,w)dz∧dw の形に表される。
• CR多様体上での正則座標 z および w を特定するため、コーシー・リーマン方程式 Z⌟df = 0 を適用し、C² への局所埋め込みを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホッジ双対性およびゼロ測地線束を通じて、時空理論における複素構造が幾何的にどのように生じるか。
• RQ2 量子電磁力学におけるU(1)ゲージ群と、ディラック方程式に現れる複素数の間の関係は何か。
• RQ3 3次元多様体上のCR構造が、正則バンドルの閉形式に対応する非自明なコーシー・リーマン系の解をもつための条件は何か。
• RQ4 非せん断性ゼロ測地線束を伴う時空におけるマクスウェル方程式の解の存在は、その背後にあるCR構造の埋め込み可能性によって完全に特徴付けられるか。
• RQ5 滑らかな3次元CR多様体が、その正則バンドルに閉じた非ゼロ断面をもつことと、C² に局所的に埋め込めることが同値であるという予想は真か。

主な発見

• アインシュタイン・ローレンツ多様体における非せん断性ゼロ測地線束は、3次元部分多様体にCR構造を誘導する。このCR構造は、正則バンドルが閉じた非ゼロ断面をもつことと、局所的に埋め込めることが同値である。
• このような束に適応したマクスウェル方程式の解は、CR構造が埋め込める場合にのみ存在し、F′ = f(z,w)dz∧dw の形で表される。ここで f は正則関数である。
• 正則バンドルに閉じた非ゼロ断面をもたないCR空間であっても、コーシー・リーマン方程式の解が存在する場合があるが、これは物理的マクスウェル場をもたらさないことを示唆する。
• λ および Z の局所表現において L = 0 であるとき、CR構造は自明になり、超曲面に直交するゼロ測地線に対応し、コーシー・リーマン方程式は古典的形式に簡略化される。
• 本稿は、3次元CR多様体が、その正則バンドルに閉じた非ゼロ断面をもつことと、局所的に C² に埋め込めることが同値であるという予想を提示する。これは、幾何的性質と物理的場の運動方程式の可解性を結びつける。
• P²π*(μ⊗sym μ̄) + π*λ⊗sym ξ を用いたローレンツ計量の構成により、ファイバーが非せん断性ゼロ測地線となることが保証され、計量はCRデータによって完全に決定される。