[論文レビュー] On composite and non-monotonic growth functions of Mealy automata

Illya I. Reznykov|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2005

semigroups and automata theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、互いに重複しない無限区間上で異なる式で定義される合成成長関数（Mealyオートマトンにおける成長関数）を導入し、多項式的成長の非単調な成長関数を有するMealyオートマトンの存在を示している。さらに、中間的・指数的成長の合成単調成長関数を有する例を構築し、従来の「このような成長関数は常に単調である」という仮定に反する結果を得ている。

ABSTRACT

We introduce the notion of composite growth function and provide examples that illustrate the primary properties of these growth functions. There are provided examples of Mealy automata that have composite non-monotonic growth functions of the polynomial growth order. There are described examples of Mealy automata that have composite monotonic growth functions of intermediate and exponential growth. The questions concerning the interrelation between the notions ``composite'' and ``non-monotonic'' of a Mealy automaton growth function are formulated.

研究の動機と目的

• Mealyオートマトンにおける合成成長関数の概念を導入・形式化し、成長が非重複な区間上で区分的（piecewise）に定義されることを明確にする。
• 多項式的成長の非単調な成長関数を有するMealyオートマトンの存在を示し、一般的に想定される単調性とは反して、その非単調性を裏付ける。
• 中間的・指数的成長オーダーの合成単調成長関数を有するMealyオートマトンの例を構築する。
• Mealyオートマトンの成長関数において、'合成的'と'非単調的'という性質がどのように相互作用するかを調査する。
• 複雑なオートマトンにおける半群元の正規形に関する基礎的結果と命題を提示し、成長行動のさらなる分析を可能にする。

提案手法

• 自然数の非重複な無限区間上で異なる関数形で表せる成長関数を、合成成長関数として定義する。
• Mealyオートマトンの変換の展開形（unrolled form）を用いて、状態の作用によって生成される半群要素の構造を分析する。
• 2文字アルファベット上に2状態を持つ特定のMealyオートマトンを構築し、遷移関数および出力関数を用いて区分的定義の成長関数を誘導する。
• 2状態Mealyオートマトンと多項式的成長に関する先行研究（Reznykov, 2002, 2003）の技術を応用し、構築した例の成長行動を分析する。
• 成長関数の有限差分を分析し、繰り返し値が現れるなど、成長行動における構造的複雑性を特定する。
• 複雑なオートマトンにおける半群要素の正規形を提示し、成長関数式の導出を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mealyオートマトンは非単調な成長関数を示すことができるとすれば、そのような性質を実現する構造的特徴は何か？
• RQ2 Mealyオートマトンにおける合成成長関数は、どのような成長オーダー（多項式的・中間的・指数的）を実現できるか？
• RQ3 Mealyオートマトンにおける成長関数の'合成的'および'非単調的'という性質は、どのように相互作用するか？
• RQ4 遷移関数および出力関数にどのような条件が課わられると、無限区間上で異なる式で定義された区分的成長関数が得られるか？
• RQ5 Mealyオートマトンの成長関数は、その生成する半群の成長関数とオーダーが異なる可能性があるか？

主な発見

• 本稿では、多項式的成長の合成的非単調成長関数を有するMealyオートマトンを構築し、このような振る舞いを示す最初の既知の例を提供している。
• 中間的・指数的成長オーダーの合成的単調成長関数を有するMealyオートマトンの例が明示的に記述されている。
• 提示されたオートマトンの成長関数が、互いに非重複な無限区間上で異なる式で定義されていることが示され、関数の合成的性質が確認された。
• 一部の例において、成長関数の有限差分に繰り返し値が現れることが判明し、成長パターンにおける構造的周期性または対称性を示唆している。
• 最も複雑なオートマトンにおいて、半群要素の正規形が導出され、成長関数の振る舞いの正確な分析が可能になった。
• 従来の見解である「Mealyオートマトンの成長関数は必ず非減少である」という仮定に反し、非単調性が可能であることが立証された。