[論文レビュー] On composition-closed classes of Boolean functions

Tamás Waldhauser|SZTE Publicatio Repozitórium (University of Szeged)|Feb 21, 2011

Advanced Algebra and Logic被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、射影を要件としない関数合成、変数の置換、同一化、ダミー変数の導入に関して閉じたブール関数のすべての合成閉等式クラスを特徴づける。このようなクラスのラティスは連続体濃度を有し、クローンでないクラスを含むようにポストのラティスを拡張し、特にイデムポテンスクラスの区間とスケルトンに関する主要な結果を提示する。

ABSTRACT

We determine all composition-closed equational classes of Boolean functions. These classes provide a natural generalization of clones and iterative algebras: they are closed under composition, permutation and identification (diagonalization) of variables and under introduction of inessential variables (cylindrification), but they do not necessarily contain projections. Thus the lattice formed by these classes is an extension of the Post lattice. The cardinality of this lattice is continuum, yet it is possible to describe its structure to some extent.

研究の動機と目的

• 合成に関して閉じているが射影を含むとは限らない等式クラスを研究することで、ブールクローンのポスト分類を拡張すること。
• ブール領域上の合成閉等式クラスのラティス構造を分析すること。これはクローンや反復代数の一般化である。
• この拡張されたラティスの濃度と内部構造を特定し、可算なポストラティスの自然な一般化であるにもかかわらず連続体サイズを有することを示すこと。
• 特に無限および有限のアリティの場合に、イデムポテンスクラスのスケルトンを用いてラティス内の区間を特徴づけること。
• 関係的制約と準順序を用いて、射影を含まないイデムポテンスクラスの完全な記述をすること。

提案手法

• 関数クラスが合成、変数の置換、変数の同一化（対角化）、シリンダ化（不必要変数の導入）に関して閉じているような合成閉等式クラスを導入する。
• このようなクラスのラティス $Δ$ を定義し、それが完全ラティスとしてポストラティスを連続体濃度で拡張することを示す。
• スケルトン（関数の0の逆像集合から得られる、高々 $k$ 行で重複列のない行列）の概念を用いて、区間 $\mathbf{I}(W^k)$ 内のイデムポテンスクラスを分類する。
• 変数の同一化とダミー変数の挿入を用いて関数を再構成することで、異なるイデムポテンスクラスが異なるスケルトンを持つことから、区間 $\mathbf{I}(W^k)$ の有限性を証明する。
• 関係的制約を用いて双対クラス $\mathcal{D}^k$（$\mathcal{B}^k$ の双対）を定義し、$\mathbf{I}(W^\infty)$ を無限個の制約の族によって特徴づける。
• クラスの比較と $\mathbf{I}(W^\infty)$ の構造の研究のため、準順序 $\sqsubseteq$ を用い、区間サイズの漸近的および明示的記述を目的とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 合成閉等式クラスのラティスの完全な構造は何か？ そしてポストラティスはどのように拡張されるか？
• RQ2 スケルトンのような組合せ的不変量を用いて、イデムポテンス合成閉等式クラスを分類・区別することは可能か？
• RQ3 このようなクラスのラティスの濃度は何か？ そして可算なクローンラティスとはどのように異なるか？
• RQ4 $\mathbf{I}(W^k)$ および $\mathbf{I}(W^\infty)$ は、関係的制約と関数方程式を用いて明示的に記述可能か？
• RQ5 変数の置換、同一化、シリンダ化の操作は、クローンを越えて関数クラスの閉包と分類にどのように影響するか？

主な発見

• ブール関数の合成閉等式クラスのラティスは、クローンの可算なポストラティスとは対照的に連続体濃度を有する。
• すべての $\mathbf{I}(W^k)$ 内のイデムポテンスクラスは、そのスケルトンによって一意に決定される。スケルトンとは、0の逆像から得られる、高々 $k$ 行で重複列のない行列の有限集合である。
• $\mathbf{I}(W^k)$ は、行と列の制約が有界であるため、可能なスケルトンの数が有限であるため、各有限 $k$ に対して有限である。
• $\mathcal{D}^k$（$\mathcal{B}^k$ の双対）は、有限 $k$ に対して関係的制約 $(\{0,1\}^k \setminus \{\mathbf{0}\}, \{0,1\}^k \setminus \{\mathbf{1}\})$ で定義され、$k=\infty$ の場合にはすべてのこのような制約の族で定義される。
• すべての合成閉等式クラスのラティス $\mathbf{I}$ は、ポストラティスと射影を含まないクラスのラティスを組み合わせることで得られ、各クローン $\mathcal{C}$ に対して区間 $\mathbf{I}(\mathcal{C})$ を通じて関連づけられる。