[論文レビュー] On compositions of d.c. functions and mappings

Libor Veselý, Zajicek, L.|ArXiv.org|Jun 5, 2007

Advanced Banach Space Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、無限次元ノルム線形空間におけるd.c.（デルタ凸）関数の合成における安定性を調査する。ハートマンの古典的定理が無限次元に一般化されないことを示し、特に外部関数がd.c.で内部写像がリプシッツ制御関数を備えたd.c.である場合に、d.c.写像の合成がd.c.のまま保たれる十分条件を確立する。主な結果は、正のd.c.関数の逆数が無限次元ではd.c.でないことがあることを示す反例である。

ABSTRACT

A d.c. (delta-convex) function on a normed linear space is a function representable as a difference of two continuous convex functions. We show that an infinite dimensional analogue of Hartman's theorem on stability of d.c. functions under compositions does not hold in general. However, we prove that it holds in some interesting particular cases. Our main results about compositions are proved in the more general context of d.c. mappings between normed linear spaces.

研究の動機と目的

• ハートマンのd.c.関数の合成安定性に関する定理が、有限次元から無限次元ノルム線形空間に拡張されるかを同定すること。
• 無限次元設定におけるd.c.写像の合成がd.c.のまま保たれる条件を調査すること。
• 正のd.c.関数の逆数が無限次元空間でd.c.でないことがあることを示す反例を構成すること。
• 特にリプシッツ制御関数を含む条件下で、合成安定性のための十分条件を同定することで、ハートマンの結果を一般化すること。
• 双線形積や指数合成を含むより一般的な設定へのd.c.写像理論の拡張すること。

提案手法

• 制御関数によるd.c.写像の定義を用いる：写像 $ F: A \to Y $ がd.c.であるとは、任意の $ y^* \in Y^* $ で $ \|y^*\| \leq 1 $ を満たすものに対して、$ y^* \circ F + f $ が凸であるような連続な凸関数 $ f $ が存在することである。
• ハートマンの方法の修正版を適用し、$ F: A \to \mathbb{R}^n $ および $ g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ がd.c.であるとき、開凸集合 $ A $ 上で $ g \circ F $ がd.c.であることを証明する。
• 関数解析の列 $ e_n^* $ と凸関数 $ g $ を用いて、$ 2B_X $ 内でコンパクトな台を持つd.c.写像 $ \Phi $ を構成し、合成の挙動を制御する。
• 各々が球 $ B(v_k, \delta_k) $ 上で定義された台が互いに不交和である写像 $ F_k $ を用いた、Partition of Unityに類似した構成法により、集合 $ A $ 上のグローバルなd.c.写像 $ F $ を構築する。
• 補題5.4を用いて、$ x \in D_n $ に対して $ \Phi(x) \in [0, y_n] $ となるd.c.写像 $ \Phi $ を構成し、像を有界に保ちながら合成を制御する。
• 命題2.4を適用し、局所的にd.c.で局所的リプシッツ制御関数を備えた写像は、開凸集合上でグローバルにd.c.であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハートマンのd.c.関数の合成定理は、無限次元ノルム線形空間に拡張可能か？
• RQ2 d.c.写像とd.c.実数値関数の合成が、無限次元空間でもd.c.のまま保たれるか？
• RQ3 正のd.c.関数の逆数は、無限次元空間で常にd.c.であるか？
• RQ4 d.c.写像 $ F $ と $ g $ の合成 $ g \circ F $ がd.c.であることが保証される条件は何か？
• RQ5 制御された台と像を持つd.c.写像を構成し、反例の構築のための構成要素として用いることは可能か？

主な発見

• 一般には、ハートマンの合成定理の無限次元版は成り立たない：無限次元空間の開凸集合上で正のd.c.関数の逆数がd.c.でない例が存在する。
• $ F: A \to \mathbb{R}^n $ および $ g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ がd.c.で、$ A \subset X $ が開かつ凸であるとき、無限次元空間であっても $ g \circ F $ はd.c.である。
• 任意のd.c.関数 $ f $ に対して、無限次元空間の開凸集合上で $ \exp(f) $ はd.c.である。
• 任意のd.c.関数 $ f, h $ に対して、無限次元空間の開凸集合上で $ \frac{fh}{1 + f^2 + h^2} $ はd.c.である。
• 反射的バナッハ空間では、連続な凸関数 $ f_1, f_2 $ に対して $ f_2 $ が0から離れている限り、商 $ f_1/f_2 $ はd.c.である。
• あるd.c.写像 $ F: A \to B $ と、有界集合上で有界でない写像 $ G: B \to Z $ が存在し、$ G \circ F $ が $ A $ 上でd.c.でないことが示され、合成安定性の失敗を示している。