[論文レビュー] On Computation of Matrix Mittag-Leffler Function

Ivan Matychyn|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Matrix Theory and Algorithms参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ジョルダン標準形分解を用いた数値的手法を提示し、MATLABルーチン（mlfm.m）として実装された行列ミタグ・レフラー関数の計算を紹介する。この手法により、分数階微分方程式を解くために不可欠な行列ミタグ・レフラー関数の正確かつ効率的な評価が可能となり、解析的解との比較において絶対誤差が10⁻¹⁵未満であることが検証された。

ABSTRACT

A method for computation of the matrix Mittag-Leffler function is presented. The method is based on Jordan canonical form and implemented as a Matlab routine.

研究の動機と目的

• 分数階微分方程式（FDEs）を解く上で中心的役割を果たす行列ミタグ・レフラー関数の信頼性と効率性に優れた計算手法の開発を目的とする。
• 行列指数関数に用いられるスケーリング・アンド・スクェアリング技法の直接適用ができない「半群性質の欠如」といった、従来の手法の限界を克服することを目的とする。
• 特に分数階動的システムに適した、スペクトル分解に基づく数値的に安定なアルゴリズムの提供を目的とする。
• バッチマーク問題、特に解析的基準解が得られるバグレー・トールビック方程式を用いた実装と検証を目的とする。
• 科学計算および分数階動力学研究における実用的利用を想定し、公開可能なMATLABルーチン（mlfm.m）の提供を目的とする。

提案手法

• 行列Aをジョルダン標準形J = P⁻¹APに分解することで、Aの関数f(A)をAの固有値スペクトル上での補間により計算可能となる。
• 固有値λₖに対応する各ジョルダンブロックについて、スカラーのミタグ・レフラー関数Eα,β(λₖtα)の高階微分（最大mk−1階まで）を用いて行列関数を評価する。
• スカラー一般化ミタグ・レフラー関数Eα,β+(m−1)αᵐ(λₖ)は、最適放物線路線（OPC）アルゴリズムにより計算され、R. ガラッパのMATLABルーチンを介して実装されている。
• カプート型FDEの解に必要なEα,₁およびEα,α関数を両方とも処理可能であり、例えばz(t) = Eα,₁(Atα)z⁰ + ∫₀ᵗ(t−τ)α⁻¹Eα,α(A(t−τ)α)f(τ)dτのような形の解に対応可能である。
• c=0の場合のバグレー・トールビック方程式に本手法を適用し、誤差関数および補完誤差関数の性質を用いてE½,₁(B)およびE½,½(B)の解析的表現を導出している。
• 実装は、erfc(−p)および指数積分関数を含む閉形式表現との比較により検証されており、誤差解析により高い精度が確認されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な行列指数関数手法（例えばスケーリング・アンド・スクェアリング）が適用できない状況において、行列ミタグ・レフラー関数を正確かつ効率的に計算する方法は何か？
• RQ2 ジョルダン標準形を効果的に活用することで、一般化ミタグ・レフラー関数を高精度に計算する行列関数を実現できるか？
• RQ3 既知の解析的解が得られるバッチマーク問題に対して、MATLABベースの行列ミタグ・レフラー関数実装が達成可能な数値的精度はどの程度か？
• RQ4 高階分数階微分方程式から生じるさまざまな行列構造に対し、提案手法が安定性と精度をどの程度維持できるか？
• RQ5 行列関数計算の文脈において、OPCベースのスカラー関数評価は、他の数値的手法と比較してどの程度の性能を示すか？

主な発見

• mlfm.m MATLABルーチンは、c=0の場合のバグレー・トールビック方程式に対して、解析的解との比較で絶対誤差が10⁻¹⁵未満の高精度で行列ミタグ・レフラー関数を計算可能である。
• 補完誤差関数の性質と恒等式E½,₁(z) = eᶻ² erfc(−z)を用いて、E½,₁(B)およびE½,½(B)の解析的表現が導出され、厳密な検証が可能となった。
• 非対角化可能なジョルダンブロックを有する行列に対しても、行列ミタグ・レフラー関数を正確に計算でき、特異行列（欠損行列）に対しても強靭性を示した。
• スカラーのミタグ・レフラー関数に最適放物線路線（OPC）アルゴリズムを用いることで、必要な一般化関数の高精度評価が保証された。
• Riemann–Liouvilleおよびカプート型両方の定式化で必要不可欠な行列α指数関数eₐᴬᵗ = tᵃ⁻¹Eα,α(Atᵃ)の計算を正しく処理でき、FDEの解法に不可欠な要素をカバーした。
• 検証結果から、要素ごとの絶対差が10⁻¹⁵未満であることが確認され、機械精度に達する高い正確性が裏付けられた。