[論文レビュー] On computational issues for stability analysis of LPV systems using parameter dependent Lyapunov functions and LMIs

Leonardo Amaral Mozelli, Ricardo Adriano|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2018

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、線形パrameter変動（LPV）システムの安定性解析のための計算効率の良い手法を提案する。パラメータ依存リャプノフ関数（PDLF）と線形行列不等式（LMIs）を用い、時間微分制約を完全な多面体表現ではなく単体に基づく表現に再定式化することで、頂点数に伴う計算複雑度を指数的増加から線形増加に削減し、従来のPDLF手法が失敗する高次元システムに対しても実行可能な解を得ることが可能になる。

ABSTRACT

This paper deals with the robust stability analysis of linear systems, subject to time-varying parameters. The Parameter Dependent Lyapunov Function are considered, assuming that the temporal derivative of the parameters are bounded. Some computational issues are discussed, which are present in Linear Matrix Inequality (LMI) based approaches and are exacerbated as the quantity of time-varying parameters increases. A possible solution to deal with issues is proposed by modifying the inclusion of the information regarding the time-derivative bounds. Complexity in the number of LMIs constraints can be reduced from very complex to linear. Numerical examples are provide to illustrate the advantages of the proposed methodology.

研究の動機と目的

• 多数の時間変動パラメータを有するLPVシステムにおけるPDLFベースLMI条件の計算不能性を解消すること。
• 時間微分の上限を安定性解析に組み込む際のLMIs数の指数的増加を克服すること。
• 著しく計算可能性を向上させつつ、妥当な保守性を維持する、従来のPDLF手法のスケーラブルな代替手法を提案すること。
• 従来の計算負荷のため実行不可能であった高次元または大規模LPVシステムの安定性解析を可能にすること。
• 時間変動線形システムのロバスト安定性解析における保守性と計算効率のバランスをとること。

提案手法

• 時間微分制約の標準的多面体表現$H$を、同じ物理的制約を捉えるが幾何構造が単純な単体に基づく行列$\bar{H}$に置き換える。
• パラメータ微分の凸結合を単体に制約し、絶対値微分の和が$\delta$以下に制限されるようにする。
• 元の$H$行列を$\bar{H}$に置き換えることで、既存のPDLFベースLMI安定性定理を変更し、安定性証明を保持しつつ複雑度を低減する。
• 新しい制約集合を$\bar{H}\dot{\theta} \leq \delta \mathbf{1}$として定式化し、$\bar{H}$は$r \times r$の次元を持ち、標準的単体構造から導出される。
• 新しい制約集合が元の$H$に基づく集合を含むように保証し、保守性は維持またはわずかに増加するが、スケーラブルな計算が可能になる。
• 再定式化されたLMI条件を数値例に適用し、標準的PDLFおよび二次的リャプノフ関数手法と比較して、実行可能性と計算時間を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PDLFベースLMI安定性解析の計算複雑度は、時間変動パラメータの数に伴いどのように変化するか？
• RQ2 時間微分制約の幾何的再定式化により、LMIsの数を著しく増加させずに削減可能か？
• RQ3 高次元LPVシステムにおけるPDLFベース安定性解析において、計算効率と保守性のトレードオフはいかなるものか？
• RQ4 標準的PDLF手法が失敗するような多数の頂点（例：$r=16$）を持つシステムに対し、提案手法が安定性解析を可能にするか？
• RQ5 実行可能性と計算時間の観点から、提案手法は二次的リャプノフ関数および標準的PDLF手法と比較してどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 提案手法により、LMIs制約の数は$r$に関して指数的増加から線形増加に削減され、計算負荷は実行不能から実行可能に変化する。
• $r=16$および$n=8$のシステムでは、$H$に基づく標準的PDLF手法は計算を完了できなかったが、提案手法の$\bar{H}$に基づくアプローチは平均19秒で実行可能な解を発見した。
• 提案手法の実行可能性比は、全テスト設定（$r=8$、$n=10$まで）で100％を記録し、標準的PDLF手法と同等の性能を示し、二次的リャプノフ関数手法を上回った。
• 提案手法の平均計算時間は、$H$を用いる標準的PDLF手法と比較して最大18倍短縮されたが、二次的リャプノフ関数手法と同等の水準を維持した。
• 本手法は、保守性と計算パフォーマンスの良好なバランスを維持しており、大規模または高次元LPVシステムの安定性解析を可能にする。
• 単体に基づく$\bar{H}$行列を用いた幾何的再定式化により、新しい制約集合が元の$H$に基づく集合を含むことが保証され、安定性保証を維持しつつスケーラビリティが向上する。