[論文レビュー] On computing the $2$-vertex-connected components of directed graphs

Raed Jaberi|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有向グラフにおける2頂点連結成分（2-vcc）を計算する2つの新しいアルゴリズムを提示する。1つはO(nm)時間、もう1つはO(mn²)時間で動作し、エルサリムスキーとスヴェトロフのアルゴリズムの従来のO(nm²)の上限を改善する。また、3-vccに対してはO(n³m)時間、k-vccに対してはO(mn²ᵏ⁻³)時間のアルゴリズムを導入し、最小2頂点連結生成部分グラフの近似アルゴリズムへの応用も示す。

ABSTRACT

In this paper we consider the problem of computing the $2$-vertex-connected components ($2$-vccs) of directed graphs. We present two new algorithms for solving this problem. The first algorithm runs in $O(mn^{2})$ time, the second in $O(nm)$ time. Furthermore, we show that the old algorithm of Erusalimskii and Svetlov runs in $O(nm^{2})$ time. In this paper, we investigate the relationship between $2$-vccs and dominator trees. We also present an algorithm for computing the $3$-vertex-connected components ($3$-vccs) of a directed graph in $O(n^{3}m)$ time, and we show that the $k$-vertex-connected components ($k$-vccs) of a directed graph can be computed in $O(mn^{2k-3})$ time. Finally, we consider three applications of our new algorithms, which are approximation algorithms for problems that are generalization of the problem of approximating the smallest $2$-vertex-connected spanning subgraph of $2$-vertex-connected directed graph.

研究の動機と目的

• 有向グラフにおける2頂点連結成分（2-vcc）を効率的に計算するアルゴリズムの開発。
• エルサリムスキーとスヴェトロフのアルゴリズムについて、これまで解析がなされていなかった実行時間を分析し、O(nm²)時間で実行可能であることを示す。
• 有向グラフにおける2-vccと支配木の関係を調査する。
• 2-vccのアプローチをk ≥ 3のk頂点連結成分（k-vcc）に拡張し、一般にO(mn²ᵏ⁻³)の時間計算量を得る。
• 新規アルゴリズムを用いて、有向グラフにおける最小2頂点連結生成部分グラフを求める近似アルゴリズムに応用する。

提案手法

• まず与えられた頂点を含む2-vccを計算することで、すべての2-vccをO(mn²)時間で計算する新しいアルゴリズムを提案する。
• 頂点の支配関係とフローグラフの性質に基づく洗練されたアプローチを用いて、O(nm)時間ですべての2-vccを計算する、より効率的な第二のアルゴリズムを設計する。
• フローグラフの支配木構造を用いて、強い関節点を特定し、成分の分解をガイドする。
• 重複する2-vccをスーパーノードに縮約する「粗粒度化グラフ」の概念を適用し、近似問題を単純化する。
• 個々の2-vccに対して既存のk頂点連結生成部分グラフの近似アルゴリズム（例えば、Cheriyan-ThurimellaおよびGeorgiadisのもの）を活用し、グローバルな近似を構築する。
• すべての2-vccのサイズの合計が3nで抑えられることを証明し、近似境界の効率的解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向グラフの2-vccは線形時間で計算可能か？それともO(nm)が最良の境界であるか？
• RQ2 エルサリムスキーとスヴェトロフの2-vccアルゴリズムの正確な時間計算量は何か？そして、新規手法と比較するとどうなるか？
• RQ3 2-vccと有向グラフにおける支配木の関係は何か？この関係は、効率的な計算に利用可能か？
• RQ4 2-vccのためのアルゴリズムをk ≥ 3のk-vccに一般化可能か？その一般化の時間計算量は何か？
• RQ5 新規の2-vccアルゴリズムを用いて、最小2頂点連結生成部分グラフのための改善された近似アルゴリズムを設計可能か？

主な発見

• エルサリムスキーとスヴェトロフの2-vcc計算アルゴリズムはO(nm²)時間で実行可能であり、これは彼らの手法に対する初めての形式的な時間計算量解析である。
• 2-vccをすべてO(mn²)時間で計算する新しいアルゴリズムを提案し、この問題に対する従来の最良の境界を改善する。
• より効率的な第二のアルゴリズムにより、すべての2-vccをO(nm)時間で計算可能となり、この問題における現在知られている最良の時間計算量を達成する。
• 3-vccを計算するアルゴリズムはO(n³m)時間で動作し、一般のk-vccを計算するアルゴリズムはO(mn²ᵏ⁻³)時間で動作する。
• 有向グラフにおけるすべての2-vccのサイズの合計は3nで抑えられ、これは効率的な近似アルゴリズムの実現を支援する。
• 3つの近似アルゴリズムを開発した：O(nm)時間で動作する最小2頂点連結生成部分グラフの1.5-近似、強連結バージョンの5/3-近似、および粗粒度化グラフの変種に対する1.5-近似。いずれもO(nm)時間で実行可能。