[論文レビュー] On Computing the Shadows and Slices of Polytopes

Hans Raj Tiwary|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2008

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、直交方向への多面体の射影の計算複雑性を調査し、射影の多くが射影方向が任意の場合、頂点列挙（VE完備）またはNP困難であることを示している。一方、非退化な方向では、射影の面が出力に依存する多項式時間で列挙可能であり、一般状態下での効率的計算が可能である。

ABSTRACT

We study the complexity of computing the projection of an arbitrary $d$-polytope along $k$ orthogonal vectors for various input and output forms. We show that if $d$ and $k$ are part of the input (i.e. not a constant) and we are interested in output-sensitive algorithms, then in most forms the problem is equivalent to enumerating vertices of polytopes, except in two where it is NP-hard. In two other forms the problem is trivial. We also review the complexity of computing projections when the projection directions are in some sense non-degenerate. For full-dimensional polytopes containing origin in the interior, projection is an operation dual to intersecting the polytope with a suitable linear subspace and so the results in this paper can be dualized by interchanging vertices with facets and projection with intersection. To compare the complexity of projection and vertex enumeration, we define new complexity classes based on the complexity of Vertex Enumeration.

研究の動機と目的

• さまざまな入力および出力表現における多面体の射影を計算する際の計算複雑性を分類すること。
• 多面体の射影と頂点列挙（VE）問題との関係を確立すること。
• 特に非退化な射影方向の場合に、射影が扱いやすくなる条件を同定すること。
• 頂点列挙の難易度に基づいて、新しい複雑度クラス（VE完備、VE困難、VE容易）を定義・適用すること。
• 射影方向が非退化である場合に、射影の面を出力に依存する多項式時間で計算するアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 出力に依存する複雑度解析を用い、アルゴリズムの性能を入力サイズと出力サイズの両方で評価する。
• 射影問題を頂点列挙（VE）に還元するか、既知の困難な問題からの還元によってNP困難性を確立する。
• 幾何的双対性を適用：多面体が内部に原点を含む場合、多面体の射影は線形部分空間との交差に対応する。
• 線形計画法を用いて、多面体の(d−2)次元面が射影においてリッジに写像されるかどうかを、面法線の凸結合に基づいて判定する。
• 補題7を導入し、ある凸包が最後のk成分がゼロのベクトルを含むかどうかをチェックすることで、(d−2)次元面がリッジに写像されるかを判定する。
• 補題8を用いて、線形計画法を解くことで、射影におけるリッジを形成する2つの面の法線を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d次元多面体をk個の直交方向に正射影する際、その頂点または面を計算する計算複雑性は何か？
• RQ2 多面体の射影の複雑性は、頂点列挙（VE）問題とどのように関係するか？
• RQ3 射影方向にどのような条件下で、出力に依存する多項式時間で解けるようになるか？
• RQ4 入力がH多面体で、方向が非退化である場合、射影の面構造は効率的に計算可能か？
• RQ5 多面体理論における射影と交差の操作の間に双対性があり、それが複雑度解析に利用可能か？

主な発見

• 射影方向が任意の場合、H多面体の射影の面や頂点を計算することはNP困難である。
• V多面体の射影の頂点を計算することは、射影と重複除去を経て、出力に依存する多項式時間で解ける。
• 射影方向が非退化である場合、H多面体の射影の面は出力に依存する多項式時間で列挙可能である。
• 非退化方向に沿ったH多面体の射影の頂点計算問題は、NP困難ではないものの、VE困難のままである。
• HV多面体では、非退化射影により、射影の頂点と面の両方が出力に依存する多項式時間で列挙可能である。
• 任意の方向に沿った射影の複雑度は、2つの自明な場合を除き、VE完備またはNP困難である。