[論文レビュー] On computing tree and path decompositions with metric constraints on the bags

Guillaume Ducoffe, Sylvain Legay+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 38被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、木幅、路長、路幅、およびk-good木分解—重要なメトリックグラフ不変量—の計算のNP困難性を確立し、文脈文献における未解決問題を解決した。さらに、平面的および二部グラフという特殊な場合における木幅が1であるグラフの識別を多項式時間で行うアルゴリズムを提供し、このようなグラフの構造的性質とk-good分解との関係を活用した。

ABSTRACT

We here investigate on the complexity of computing the \emph{tree-length} and the \emph{tree-breadth} of any graph $G$, that are respectively the best possible upper-bounds on the diameter and the radius of the bags in a tree decomposition of $G$. \emph{Path-length} and \emph{path-breadth} are similarly defined and studied for path decompositions. So far, it was already known that tree-length is NP-hard to compute. We here prove it is also the case for tree-breadth, path-length and path-breadth. Furthermore, we provide a more detailed analysis on the complexity of computing the tree-breadth. In particular, we show that graphs with tree-breadth one are in some sense the hardest instances for the problem of computing the tree-breadth. We give new properties of graphs with tree-breadth one. Then we use these properties in order to recognize in polynomial-time all graphs with tree-breadth one that are planar or bipartite graphs. On the way, we relate tree-breadth with the notion of \emph{$k$-good} tree decompositions (for $k=1$), that have been introduced in former work for routing. As a byproduct of the above relation, we prove that deciding on the existence of a $k$-good tree decomposition is NP-complete (even if $k=1$). All this answers open questions from the literature.

研究の動機と目的

• 木幅、路長、路幅、およびk-good木分解の計算の未解決な計算複雑性状態を解明すること。
• 特に平面的および二部グラフにおいて、木幅が1のグラフの識別が可能な tractable（多項式時間可解）なグラフクラスを同定すること。
• k-good木分解と木幅の関係を明確にし、その計算複雑性に関する未解決の問題を解決すること。
• メトリックグラフ不変量の多項式時間可解と困難なインスタンスの境界を明らかにすること。

提案手法

• 既知のNP困難問題からの還元技術を用いて、木幅、路長、路幅、およびk-good木分解のNP困難性を証明する。
• 特にリーフ頂点の種別とクリーク分離子に注目し、木幅が1であるグラフの構造的性質を同定・特徴付ける。
• 頂点の縮約と辺の追加操作を用いた再帰的アルゴリズムを設計し、平面的および二部グラフにおける木幅が1のグラフの識別を行う。
• グラフサイズに関する帰納法による証明を用い、不変量 5n - m を追跡することで還元の正しさと停止性を示す。
• k-good木分解（k=1の場合）と木幅との間の明示的関係を確立し、複雑性の転送を可能にする。
• ガジェット構成とグラフ変換を用いて、還元過程でメトリック制約を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフの木幅を計算することはNP困難か？
• RQ2 平面的または二部グラフのような特定のグラフクラスにおいて、木幅が1のグラフを多項式時間で識別できるか？
• RQ3 k=1の場合に、k-good木分解の存在を決定する計算複雑性は何か？
• RQ4 路長と路幅は、パスへの最小歪み埋め込みの複雑性にどのように関係するか？
• RQ5 クリーク数、ジャンル、木幅、またはHadwiger数をパrameterとする、メトリックグラフ不変量の固定パrameter多項式時間アルゴリズムは存在するか？

主な発見

• 木幅の計算はNP困難であることが示され、メトリックグラフ理論における未解決問題が解決された。
• 路長と路幅の計算もNP困難であることが示され、既知の木長のNP困難性が拡張された。
• k-good木分解の存在を決定する問題は、k=1であってもNP完全である。
• 木幅が1であるグラフは、木幅の計算において最も複雑なインスタンスであり、効率的な識別を可能にする特定の構造的性質を有する。
• 平面的および二部グラフクラスにおける木幅が1のグラフに対して、多項式時間識別アルゴリズムが存在する。
• NP困難性の結果から、これらのメトリック不変量は定数要因未満に近似可能でないことが示され、既存の定数要因近似アルゴリズムとの間にギャップが生じる。