[論文レビュー] On conditional expectations of finite index

Michael Frank, Eberhard Kirchberg|ArXiv.org|Apr 15, 1998

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用数 42

ひとこと要約

本稿では、C*-代数上の条件付き期待値の有限指数が正値性と完全正値性を介して同値であることを確立し、$K(E) \leq L(E) \leq K(E)\cdot[K(E)]$ が成り立つことを証明している。ここで $[\cdot]$ は整数部を表す。本研究は、Pimsner-Popa、Watatani、Baillet-Denizeau-Havet のアプローチを統合することで、文献における空白を埋め、有限指数が相対可換部分代数およびW*-分解における構造的制御をもたらすことを示している。

ABSTRACT

For a conditional expectation E on a (unital) C*-algebra A there exists a real number K>=1 such that the mapping (K.E-id_A) is positive if and only if there exists a real number L>=1 such that the mapping (L.E-id_A) is completely positive, among other equivalent conditions. The estimate min(K) <= min(L) <= min(K).[min(K)] is valid, where [.] denotes the integer part of a real number. As a consequence the notion of a 'conditional expectation of finite index' is identified with that class of conditional expectations, which extends and completes results of M. Pimsner, S. Popa; M. Baillet, Y. Denizeau, J.-F. Havet; Y. Watatani, and others. Situations for which the index value and the Jones' tower exist are described in the general setting. In particular, the Jones' tower always exists in the W*-case and for Ind(E) in E(A) in the C*-case. Furthermore, normal conditional expectations of finite index commute with the general W*-projections to their finite, infinite, discrete and continuous type I, type II_1, type II_\infty and type III parts, i.e. the respective projections in the centers of the initial and the image W*-algebra coincide. We give an interpretation of our result in terms of non-commutative topology and indicate some dimension estimation formulae and an inequality.

研究の動機と目的

• C*-代数上の条件付き期待値の有限指数を定義する際の正値性と完全正値性の間のギャップを解消すること。
• Pimsner-Popa、Watatani、Baillet-Denizeau-Havet の有限指数条件付き期待値に関する枠組みを統合・拡張すること。
• 最小の $K$ が $K\cdot E - \mathrm{id}_A$ が正値であることを満たすとき、それが相対可換部分代数およびW*-分解の構造を制御することを確立すること。
• 正規条件付き期待値が有限指数をもつ場合、標準的なW*-代数の型（型I、II、III）を保存することを証明すること。
• 有限指数が $K(E) \in \{1\} \cup [2,\infty)$ を満たし、$K(E) = 1$ であることは $E = \mathrm{id}_A$ と同値であることを示すこと。

提案手法

• 定義 $K(E) = \inf\{K \geq 1 : K\cdot E - \mathrm{id}_A \text{ が正値} \}$ および $L(E) = \inf\{L \geq 1 : L\cdot E - \mathrm{id}_A \text{ が完全正値} \}$ を行う。
• 3つの条件の同値性を証明する：(i) $K(E) < \infty$、(ii) $L(E) < \infty$、(iii) $E$ がPimsner-Popaの意味で有限指数をもつこと。
• カジソンの正値写像に関する定理を用いて、自己共役な $a$ に対して不等式 $0 \leq (E(a) - a)^2 \leq (K(E) - 1)(E(a^2) - E(a)^2)$ を導出する。
• C*-代数の構造理論およびヒルベルトC*-加群理論を用いて、$K(E) < \infty$ のとき $A$ が $B$-加群として有限生成であることを示す。
• 中心および相対可換部分代数 $N' \cap M$ を分析し、不等式 $\dim(N' \cap M) \leq [K(E)]^2 \cdot \dim(\mathrm{Z}(N))$ を得る。
• 最大可換C*-部分代数および射影のスペクトル性質を用いて次元推定を導出：$\dim(M) \leq [K(E)]^2 \cdot \dim(N)^2$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件付き期待値の有限指数を定義する際の写像 $K\cdot E - \mathrm{id}_A$ の正値性と完全正値性の正確な関係は何か？
• RQ2 写像 $K\cdot E - \mathrm{id}_A$ が正値である最小の $K(E)$ と、完全正値である最小の $L(E)$ の間の関係は何か？
• RQ3 ジョーンズツリーがC*-代数の設定で存在する条件は何か、特に $\mathrm{Ind}(E) \in E(A)$ のときには？
• RQ4 正規条件付き期待値が有限指数をもつ場合、標準的なW*-分解（型I、II、III）への作用はどのように影響を受けるか？
• RQ5 有限指数が相対可換部分代数 $N' \cap M$ および $M$ と $N$ の中心にどのような構造的制約を課えるか？

主な発見

• 最小の $K(E)$ と $L(E)$ は、$K(E) \leq L(E) \leq K(E) \cdot [K(E)]$ を満たす。ここで $[\cdot]$ は整数部を表す。
• $K(E)\cdot E - \mathrm{id}_A$ が正値である有限な $K(E)$ の存在は、$\dim(N' \cap M) \leq [K(E)]^2 \cdot \dim(\mathrm{Z}(N))$ を意味する。
• 有限次元な $N$ に対しては $\dim(M) \leq [K(E)]^2 \cdot \dim(N)^2$ が成り立ち、$M$ と $N$ が可換である場合には $\dim(M) \leq K(E) \cdot \dim(N)$ が成り立つ。
• すべての自己共役な $a \in A$ に対して不等式 $0 \leq (E(a) - a)^2 \leq (K(E) - 1)(E(a^2) - E(a)^2)$ が成り立ち、等号成立条件は $E(a) = a$ を特徴付ける。
• 射影 $p \in A$ に対して $E(p) = p$ であることは $p \in B$ であることと同値であり、そうでない場合には $E(p)$ は $]0,1[$ のスペクトル値をもつ。
• $K(E) = 1$ であることは $E = \mathrm{id}_A$ と同値であり、$K(E) \in \{1\} \cup [2,\infty)$ が成り立ち、$[2,\infty)$ のすべての値が例によって実現可能である。