[論文レビュー] On conditioned limit structure of the Markov branching process without finite second moment

Азам А. Имомов|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2022

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非定型的分散を持つ連続時間マルコフ分岐過程の条件付き極限挙動を調査する。特に、子孫分布の尾部が正規変動的であると仮定する。局所極限定理、エルゴード的性質を確立し、非滅亡状態に条件づけた過程としてのマルコフQ過程を導入し、重い尾を持つ子孫分布の下で一般化ラプラス変換を伴う安定分布への弱収束を証明する。

ABSTRACT

Consider the continuous-time Markov Branching Process. In critical case we consider a situation when the generating function of intensity of transformation of particles has the infinite second moment, but its tail regularly varies in sense of Karamata. First we discuss limit properties of transition functions of the process. We prove local limit theorems and investigate ergodic properties of the process. Further we investigate limiting probability function conditioned to be never extinct. Hereupon we obtain a new stochastic population process as a continuous-time Markov chain called the Markov Q-Process. We study main properties of Markov Q-Process.

研究の動機と目的

• 子孫分布の2次モーメントが無限大である場合における連続時間マルコフ分岐過程の漸近的挙動を分析すること。
• 有限2次モーメントの仮定を超えて、局所極限定理およびエルゴード的性質を拡張すること。
• 非滅亡状態に条件づけたMBPの条件付き版として、新たな確率過程であるマルコフQ過程を構成し、その特徴を特定すること。
• 正規変動およびタウバリアン定理を用いて、条件づけられた状況下での集団サイズの弱収束結果を確立すること。
• 特に安定極限定理に対して、ハリス型極限定理を無限大分散の場合に一般化すること。

提案手法

• 過程の確率的生成関数（PGF）を用い、PGFの時間発展を記述する後向きコルモゴロフ方程式を導出する。
• 尾部の挙動を分析するために、タウバリアン定理およびスローリーに変動する関数の性質を適用する。
• 元のMBPから導かれる修正されたq行列を有する、非滅亡状態に条件づけた連続時間マルコフ連鎖としてのマルコフQ過程を導入する。
• 正規変動理論を用いて、特に重い尾を持つ子孫分布の場合の集団サイズの漸近的スケーリングを特徴付ける。
• スケーリング下での生成関数の漸近的挙動を分析し、極限分布のラプラス変換を導出する。
• 遷移関数の関数方程式および半群性質を用い、漸近的展開および極限定理を用いて収束結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 子孫分布の2次モーメントが無限大である場合、遷移関数および局所極限定理はどのように振る舞うか？
• RQ2 2次モーメントが無限大である臨界的マルコフ分岐過程において、非滅亡状態に条件づけた集団サイズの極限分布は何か？
• RQ3 重い尾を持つ子孫分布の下で、非滅亡集団をモデル化する新たな確率過程、すなわちマルコフQ過程はどのように構成できるか？
• RQ4 子孫分布の尾部が正規変動的である場合、臨界状態におけるスケーリングされた集団サイズの弱極限は何か？
• RQ5 離散時間分岐過程におけるハリス型極限定理は、無限大分散を伴う連続時間過程へと拡張可能か？

主な発見

• 本稿では、2次モーメントが無限大であるが、子孫分布の尾部が正規変動的であるという仮定の下で、マルコフ分岐過程に対する局所極限定理を確立する。
• マルコフQ過程は、非滅亡状態に条件づけたMBPの条件付き版として導入され、well-definedなq行列を有し、パrameter β = exp(f'(q)) に依存するエルゴード的性質を有する。
• ν ∈ (0,1] の場合、スケーリングされた集団サイズ W(t) は t → ∞ のとき、ラプラス変換 (1 + θ^ν)^{-(1 + 1/ν)} を持つ分布に弱収束する。
• 極限分布は一般化エーラン分布に対応し、ν = 1 のとき標準エーラン(2)分布に還元される。
• 漸近的生成関数の分析とタウバリアン定理を用いて収束が確立され、子孫分布の尾部におけるスローリーに変動する関数 L(x) が関与する。
• 古典的ハリス定理は無限大分散設定へと拡張され、正規変動の精密な仮定の下での収束速度の基礎が提供される。