[論文レビュー] On Conditions for Uniqueness in Sparse Phase Retrieval

Henrik Ohlsson, Yonina C. Eldar|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2013

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、位相なし測定からのスパース信号の一意的回復のための条件を確立し、測定ベクトルを自由に選べる場合、k-スパースな実信号の回復に4k−1個の強度測定値で十分であることを示している。フーリエ位相なし測定の場合、弱い条件下でも2(k²−k+1)の測定値で一意的回復が保証され、従来の方法が完全なフーリエ集合が必要としていたのを改善している。

ABSTRACT

The phase retrieval problem has a long history and is an important problem in many areas of optics. Theoretical understanding of phase retrieval is still limited and fundamental questions such as uniqueness and stability of the recovered solution are not yet fully understood. This paper provides several additions to the theoretical understanding of sparse phase retrieval. In particular we show that if the measurement ensemble can be chosen freely, as few as 4k-1 phaseless measurements suffice to guarantee uniqueness of a k-sparse M-dimensional real solution. We also prove that 2(k^2-k+1) Fourier magnitude measurements are sufficient under rather general conditions.

研究の動機と目的

• スパース位相再構成が一意的解をもつ条件を特定すること。
• k-スパースな実信号の一意的回復に必要な最小の位相なし測定値の数を特定すること。
• 特に完全なフーリエ変換が利用できない状況において、フーリエ位相なし測定値からの一意的回復の十分条件を確立すること。
• スパース信号に向けた補完性条件の枠組みを拡張し、一意性に十分なより弱い条件を示すこと。

提案手法

• スパース位相再構成における一意性の十分条件として、補完性条件の弱化版を提案する。
• 位相再構成問題を、部分的フーリエ位相なし測定値からスパース自己相関ベクトルを回復する問題に還元する。
• 圧縮センシング理論を用いて、測定数NがN ≥ 2(k²−k+1) かつNが素数である場合、スパース自己相関が一意に回復可能であることを示す。
• ウィナー＝キンチンの定理を適用し、フーリエ位相なし測定値と信号の自己相関を関連付ける。
• 信号構造に制約を課す——具体的には、非ゼロエントリに重複（衝突）がないこと、またはk≠6であること——により、自己相関からの一意的回復を保証する。
• k-スパース信号の自己相関の構造を分析し、それが最大で(k²−k+1)-スパースであり、中心対称であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k-スパースな実信号の一意的回復を保証するための最小の位相なし測定値の数は何か？
• RQ2 スパース信号において、補完性条件を緩和しても位相再構成における一意性が保証されるか？
• RQ3 どのような条件下でフーリエ位相なし測定値がk-スパース信号を一意に決定するか？
• RQ4 スパース信号のサポートに繰り返し値（衝突）が存在する場合、フーリエベースの位相再構成における一意性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 M個未満の部分的フーリエ位相なし測定値（M未満）でも、スパース信号の一意的回復を保証できるか？

主な発見

• 測定ベクトルを自由に選べる場合、k-スパースなM次元実信号の一意的回復を保証するためには4k−1個の位相なし測定値で十分である。
• フーリエ位相なし測定値の場合、Nが素数であり、かつ2(k²−k+1)より大きい場合、2(k²−k+1)個の測定値でk-スパースな実信号の一意的回復が保証される。
• 信号が衝突のない（重複する非ゼロ振幅がない）か、またはスパース度k≠6であれば、一意的回復が保証される。
• k-スパース信号の自己相関は最大で(k²−k+1)-スパースであり、これにより圧縮センシング手法による回復が可能になる。
• 従来の研究が完全なフーリエ集合（M個の測定）を必要としていたのを改善し、弱い条件下でも部分的フーリエ位相なし測定値（FMMs）で十分であることを示している。
• 理論的枠組みを拡張し、補完性条件をスパース信号に適用し、スパースケースにおける一意性に十分なより弱い条件が存在することを示している。