[論文レビュー] On conformable fractional calulus

Thabet Abdeljawad|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 2被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、分数階微分の簡略化された極限定義に基づき、良好な性質を備えた新しい conformable 分数階微積分学を導入し、発展させている。基本的な道具—連鎖律、部分積分、分数階テイラー級数、ラプラス変換、グロンウォールの不等式—を確立し、α→1 の極限で古典的結果に還元されることを示し、標準的テイラー級数が存在しない関数が、この枠組みを用いて展開可能であることを示している。

ABSTRACT

Recently, the authors Khalil, R., Al Horani, M., Yousef. A. and Sababheh, M., in " A new Denition Of Fractional Derivative, J. Comput. Appl. Math. 264. pp. 6570, 2014. " introduced a new simple well-behaved definition of the fractional derivative called conformable fractional derivative. In this article we proceed on to develop the definitions there and set the basic concepts in this new simple interesting fractional calculus. The fractional versions of chain rule, exponential functions, Gronwall's inequality, integration by parts, Taylor power series expansions, Laplace transforms and linear differential systems are proposed and discussed.

研究の動機と目的

• Khalil ら（2014）が導入した conformable 分数階微分を形式的に拡張し、包括的な微積分フレームワークに発展させること。
• 従来の分数階微積分学における複雑な積の法則や連鎖律の欠如といった制限を解消するため、より単純で直感的な微分定義を導入すること。
• 古典的微積分学では標準的テイラー表現を持たない関数に対しても、テイラー級数展開とラプラス変換を可能にするためのフレームワークを提供すること。
• 部分積分、グロンウォールの不等式、線形系といった主要な解析的道具の分数階類似物を、conformable フレームワークを用いて確立すること。
• conformable 微積分が α→1 の極限で古典的微積分に還元されることを示し、既存理論と整合性を保つこと。

提案手法

• a と b をそれぞれ左端と右端とする区間において、(t−a)^(1−α) および (b−t)^(1−α) を含む極限に基づく定義式を用いて、α∈(0,1] の階数に対する左および右 conformable 分数階微分を定義し、古典的微分を一般化する。
• α∈(n,n+1] の場合、基本微分を逐次適用することで、高階微分（α>1）への拡張を図り、β=α−n を用いる。
• 左および右 conformable 分数階積分を、それぞれ (x−a)^(α−1) および (b−x)^(α−1) を核とする重み付き積分として定義する。
• 分数階連鎖律および部分積分の公式を導出し、α→1 の極限で古典的形に還元されることを示す。
• 基底関数 (t−a)^(kα)/α^k k! を用いた分数階テイラー級数展開を提案し、非解析的関数に対しても級数表現を可能にする。
• 変数変換 u=(t−a)^α/α を用いて、分数階ラプラス変換を定義し、変換された関数の古典的ラプラス変換と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積の法則や連鎖律といった標準的微積分の性質を保ちつつ、より単純で直感的な分数階微分を定義可能か？
• RQ2 標準的テイラー級数展開を持たない関数（例：ある点で非解析的関数）は、conformable 微積分フレームワークにおいて分数階級数で表現可能か？
• RQ3 部分積分、グロンウォールの不等式、ラプラス変換といった古典的道具の分数階類似物が存在し、α→1 の極限で古典的形に還元されるか？
• RQ4 Mittag-Leffler 関数が利用できない状況において、conformable 分数階微積分学は、古典的分数階微積分学よりも線形微分方程式をより効果的に解けるか？
• RQ5 conformable 微積分学を高階またはマルチ階数系に一般化可能か？ その際、整合性と計算的取り扱いやすさを維持できるか？

主な発見

• 定数関数の conformable 分数階微分はゼロである（Riemann-Liouville 微積分とは異なり）ため、古典的直感と整合性が保たれる。
• 分数階連鎖律および部分積分の公式が導出され、α→1 の極限で古典的形に還元されることを示し、整合性が保証される。
• 標準的テイラー級数を持たない関数（例：ある点で非解析的関数）は、基底関数 e^{λ(t−a)^α/α} を用いた分数階テイラー級数展開により表現可能であり、べき級数展開を用いて収束性が確立されている。
• 分数階ラプラス変換が定義され、変換された関数の古典的ラプラス変換に一致することが示され、conformable 分数階常微分方程式の解法が可能になる。
• conformable 分数階初期値問題 (T_α^a y)(t) = λy(t), y(a)=y₀ の解は y(t) = y₀ e^{λ(t−a)^α/α} であり、分数階指数関数と一致する。
• 線形系において、T_α^a y = Ay + f(t) の解は行列指数関数 e^{A(t−a)^α/α} を用いて表現され、非同次項には畳み込み積分が含まれる。