[論文レビュー] On Conformal Deformations II

Barak Kol|arXiv (Cornell University)|May 24, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、4次元 $\mathcal{N}=1$ 超共形場理論における共形モジュライ空間の次元を計算する洗練された手法を提案する。この手法は、スピン3のチャーミカルプライマリー演算子の空間を複素化された全局的対称性群で割ったホロモーフィック商として定義される。弱い結合領域ではリー・ストラッスラーの手法と整合しており、特に $SU(N_c)$ SQCD（基礎表現および随伴表現の物質を含む）および $E_6$（12個の基礎表現）において、リーとストラッスラーが特定したものを超える正確に余剰な可換変形が存在することを発見した。

ABSTRACT

The conformal index counts the number of exactly marginal deformations. In 4d the index is given by the number of chiral primary operators of dimension 3 moded out by the complexified global group, where the quotient is defined as usual by imposing a D-term. Here we show its consistency with the Leigh-Strassler method for weakly coupled theories, and we test it against known examples. In several examples this method discovers extra exactly marginal deformations beyond those of Leigh-Strassler. [This is an unpublished paper dated 3.3.03.]

研究の動機と目的

• 4次元 $\mathcal{N}=1$ 超共形場理論における共形モジュライ空間 ($\mathcal{M}_c$) の次元を計算する一般的で物理的かつ体系に依存しない手法を提供すること。
• リー・ストラッスラーの手法に内在する制限を解消すること。この手法は、体系に依存する異常次元と、非ラグランジュ的共形場理論では定義されない基本場に依存している。
• 共形モジュライ空間が、スピン3のチャーミカルプライマリー演算子の空間を複素化された全局的対称性群で割ったホロモーフィック商として与えられることを確立すること。D項の制約を含む。
• 既知の例に対して新しい手法をテストし、従来の解析を超えて追加の正確に可換な変形が存在することを同定すること。

提案手法

• 共形モジュライ空間 $\mathcal{M}_c$ は、ホロモーフィック商 $\text{supermarginals}/G_{\mathbb{C}}$ として定義される。ここで、supermarginals はスピン3のチャーミカルプライマリー演算子であり、$G_{\mathbb{C}}$ は複素化された全局的対称性群である。
• ホロモーフィック商を定義するためにD項の条件を課し、全局的対称性に対して不変でありながら、ホロモーフィー性を保つ。
• $\mathcal{M}_c$ の次元は $\text{dim}(R) - (\text{dim}(G) - \text{dim}(G_0))$ として計算される。ここで $R$ はsupermarginalsの空間であり、$G_0 \subseteq G$ は破れていない全局的対称性である。
• この手法は、超マージナル演算子の量子数（R荷、バリオン数、全局的対称性荷）を追跡するためのq行列形式を用いる。
• インスタントン効果を分析して、どの全局的対称性が破れるかを特定し、対称性群を破れていない部分群に縮小する。
• この手法は、$SU(N_c)$ SQCD（基礎表現および随伴表現の物質を含む）、$E_6$（12個の基礎表現）、$SU(4)$（8個の基礎表現および4個の反対称表現）などのさまざまな例に適用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素化された全局的対称性群によるスピン3のチャーミカルプライマリー演算子のホロモーフィック商が、4次元 $\mathcal{N}=1$ SCFTにおける共形モジュライ空間の次元を正しく計算するか？
• RQ2 この手法は、リー・ストラッスラーの手法で特定されたものを超える追加の正確に可換な変形を検出できるか？
• RQ3 インスタントン効果は、全局的対称性群をどのように変更し、共形モジュライ空間の構造にどのような影響を与えるか？
• RQ4 非ラグランジュ的共形場理論においても、チャーミカルプライマリー状態のスペクトルと全局的対称性のデータのみを用いて共形モジュライ空間を計算できるか？
• RQ5 D項の役割は、ホロモーフィック商を定義するために果たすものであり、なぜホロモーフィー性を保つために必要なのか？

主な発見

• 基礎表現 $N_f$ 個と随伴表現 $N_a$ 個を有する $SU(N_c)$ SQCD において、$N_c \geq 3$ のとき、リー・ストラッスラーの結果を超える追加の正確に可換な変形が同定された。特に $N_c=3$ の場合、$Q^3$ および $\widetilde{Q}^3$ が存在する。
• $N_c=3$ の場合、共形モジュライ空間は $[\mathbf{10}_3/SU(3,\mathbb{C}) + \mathbf{10}_{-3}/SU(3,\mathbb{C})]/\mathbb{C}^* + \mathbf{1}$ であり、$\mathbb{C}^*$ 要素は $U(1)_{Q+\widetilde{Q}}$ D項に由来し、余剰な可換方向をもたらす。
• $E_6$ 理論に12個の基礎表現がある場合、共形モジュライ空間は $\mathbf{182}/SL(12,\mathbb{C})$ であり、39次元の複素空間であり、リーとストラッスラーの解析で特定された特殊ケースよりも顕著に大きい。
• $SU(4)$ 理論に8個の基礎表現と4個の反対称表現がある場合、モジュライ空間は $[({\bf 28},{\bf 4})_2/SU(8,\mathbb{C}) + ({\bf 28},{\bf 4})_{-2}/SU(8,\mathbb{C})]/(SU(4,\mathbb{C}) \times \mathbb{C}^*)$ であり、2つの破れていない $U(1)$ 対称性と、$U(1)_{2A-Q-\widetilde{Q}}$ D項に由来する余剰な可換方向がある。
• この手法は弱い結合領域ではリー・ストラッスラーの結果を一貫して再現するが、ホロモーフィック不変量がより多く存在するような全局的対称性構造を許す場合に、追加の変形を同定する。
• D項の条件は、ホロモーフィック商を定義するために不可欠であり、特にAdS/CFTの文脈において、商空間が複素構造を保ち、超対称性を維持するためである。