[論文レビュー] On Conformal Qc Geometry, Spherical Qc Manifolds and Convex Cocompact Subgroups of ${ m Sp}{(n+1,1)}$

Yun Shi, Wei Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、クaternion的接触（qc）多様体上のqcヤマベ作用素を導入し、その共形不変性を確立するとともに、スカラー曲率の符号がqcヤマベ不変量と関連することを示している。スカラー曲率が正である球面的qc多様体に対して、共形不変なテンソルを構成し、Sp(n+1,1)の凸コ・コンパクト部分群が、Poincaré臨界指数に応じてスカラー曲率の符号が決定される球面的qc多様体を生成することを証明している：指数が2n+2未満の場合は正、超過の場合は負、等しい場合は0となる。

ABSTRACT

Conformal qc geometry of spherical qc manifolds are investigated. We construct the qc Yamabe operators on qc manifolds, which are covariant under the conformal qc transformations. A qc manifold is scalar positive, negative or vanishing if and only if its qc Yamabe invariant is positive, negative or zero, respectively. On a scalar positive spherical qc manifold, we can construct the Green function of the qc Yamabe operator, which can be applied to construct a conformally invariant tensor. It becomes a spherical qc metric if the qc positive mass conjecture is true. Conformal qc geometry of spherical qc manifolds can be applied to study convex cocompact subgroups of ${ m Sp}(n+1,1).$ On a spherical qc manifold constructed from such a discrete subgroup, we construct a spherical qc metric of Nayatani type. As a corollary, we prove that such a spherical qc manifold is scalar positive, negative or vanishing if and only if the Poincaré critical exponent of the discrete subgroup is less than, greater than or equal to $2n+2$, respectively.

研究の動機と目的

• 球面的qc多様体における共形qc幾何を発展させ、局所的に共形平坦および球面的CR幾何のアイデアを拡張すること。
• qc多様体上でのqcヤマベ作用素とそのグリーン関数を定義・研究し、共形共変性を保証すること。
• グリーン関数を用いて、スカラー曲率が正である球面的qc多様体上に共形不変テンソルを構成すること。
• Sp(n+1,1)の凸コ・コンパクト部分群から生じる球面的qc多様体のスカラー曲率の符号を、群のPoincaré臨界指数と関連付けること。
• このような多様体が、Poincaré指数が2n+2未満、超過、または等しい場合に、それぞれスカラー曲率が正、負、または0であるための必要十分条件を証明すること。

提案手法

• バイカルド接続とカーノン＝カラテオドリ計量を用いて、qc多様体上での共形共変微分作用素としてqcヤマベ作用素を構成する。
• スカラー曲率が正である球面的qc多様体上でのqcヤマベ作用素のグリーン関数を、クaternion的ヘイセンベルク群をモデル空間として定義する。
• テスト関数との積分を用いてグリーン関数から共形不変テンソルを構成し、正質量予想が成り立つ場合にはそれが球面的qc計量になることを示す。
• パットンソン＝サリヴァン測度と極限集合の力学を用いて、Sp(n+1,1)の凸コ・コンパクト部分群の漸近的挙動を分析する。
• Poincaré指数δ(Γ)と関連する非負定値行列A(ξ)のトレースを用いて、得られたqc計量のスカラー曲率を導出する。
• 主要な関係を確立：スカラー曲率の符号は、δ(Γ) < 2n+2、δ(Γ) > 2n+2、またはδ(Γ) = 2n+2 であるかどうかに依存し、行列A(ξ)のスペクトル解析とそのトレースを用いて示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 qc多様体上での共形不変なqcヤマベ作用素をどのように定義でき、共形qc変換下での変換性はどのようなものか？
• RQ2 球面的qc多様体上でのqcヤマベ作用素のグリーン関数が存在する条件は何か？ そして、そのグリーン関数を用いて共形不変テンソルをどのように構成できるか？
• RQ3 Sp(n+1,1)の凸コ・コンパクト部分群から得られる球面的qc多様体のスカラー曲率の符号と、群のPoincaré臨界指数との関係は何か？
• RQ4 qc正質量予想を用いて、不変テンソルを球面的qc計量に高めることは可能か？
• RQ5 Poincaré指数δ(Γ)が、得られる球面的qc多様体のスカラー曲率が正、負、または0であるかどうかを決定する明確な条件は何か？

主な発見

• qcヤマベ作用素は共形共変であり、そのスカラー曲率の符号はqcヤマベ不変量に依存する：不変量が正、負、0のとき、それぞれスカラー曲率が正、負、0となる。
• スカラー曲率が正である球面的qc多様体上では、qcヤマベ作用素のグリーン関数が存在し、共形不変テンソルの構成が可能である。
• qc正質量予想が成立する場合、この不変テンソルは球面的qc計量に拡張される。
• Sp(n+1,1)の凸コ・コンパクト部分群Γから生じる球面的qc多様体について、スカラー曲率が正、負、または0であるための必要十分条件は、Poincaré臨界指数δ(Γ)が2n+2未満、超過、または等しいことである。
• パットンソン＝サリヴァン測度に関連する行列A(ξ)のトレースは、δ(Γ) = 2n+2 かつ極限集合が一点である場合を除き、不連続集合Ω(Γ)上で恒等的に0でない。
• このような多様体上のNayatani型計量について、スカラー曲率はs_{g,ℚ} = 8(n+2)(n+1 - δ/2) e^{-2f} TrA(ξ) で与えられ、δ(Γ)が2n+2未満、超過、または等しい場合にそれぞれ正、負、または0となる。