[論文レビュー] On Conformally Kaehler, Einstein Manifolds

Xiuxiong Chen, Claude LeBrun+1 more|ArXiv.org|May 7, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用数 26

ひとこと要約

本論文は、複素射影平面 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2$ の2点でのブ lows upによって得られる複素表面 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2\#2\overline{\mathbb{C}\mathbb{P}}^2$ が、ケーラー計量に共形な正のリッチ曲率を持つアインシュタイン計量を有することを証明している。証明では、対称ケーラー類内の極値ケーラー計量を構成し、そのスカラー曲率の逆数の二乗倍によってスケーリングすることでアインシュタイン計量が得られることを示しており、コンパクトな複素表面がヘルミート・アインシュタイン計量を有するための分類を完成させている。

ABSTRACT

We prove that any compact complex surface with positive first Chern class admits an Einstein metric which is conformally related to a Kaehler metric. The key new ingredient is the existence of such a metric on the blow-up of the complex projective plane at two distinct points.

研究の動機と目的

• 複素表面 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2\#2\overline{\mathbb{C}\mathbb{P}}^2$ に正のリッチ曲率を持つヘルミート・アインシュタイン計量が存在することを確立すること。
• コンパクトな複素表面がヘルミート・アインシュタイン計量を有する分類における欠落していた事例を解消すること。
• このような計量が、正のスカラー曲率を持つ極値ケーラー計量の共形スケーリングによって生じることを示すこと。
• 複素構造またはシンプレクティック構造を備えた滑らかな4次元多様体が正のアインシュタイン計量を有するための特徴づけを完成させること。

提案手法

• 任意のコンパクトな複素表面にヘルミート・アインシュタイン計量が存在する場合、それは自身がケーラーでない限り、必ずケーラー計量に共形であるという事実を活用する。
• $\mathbb{C}\mathbb{P}^2\#2\overline{\mathbb{C}\mathbb{P}}^2$ 上で、極値ケーラー計量を、極値計量の弱コンパクト性に基づく変形法を用いて、対称ケーラー類に構成する。
• Arezzo, Pacard, および Singer の結果を応用し、$F_1 + F_2 - \epsilon E$ の形のケーラー類（$\epsilon > 0$ が十分小さい）に極値ケーラー計量を構成する。ここで $F_1, F_2$ はファイバー類、$E$ は特異除集合である。
• スカラー曲率 $s$ を用いて $h = s^{-2}g$ と正規化することで、極値ケーラー計量 $g$ をアインシュタイン計量 $h$ に変換する。
• Chen および Weber の弱コンパクト性結果を用いて、幾何的崩壊の下での極値計量列の収束を制御する。
• トーリック対称性とケーラー・コーンの構造を用いて、ソボレフ定数の制御を行い、極限におけるバブリングの発生を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素表面 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2\#2\overline{\mathbb{C}\mathbb{P}}^2$ は正のリッチ曲率を持つヘルミート・アインシュタイン計量を有するか？
• RQ2 正の第一チャーン類 $c_1 > 0$ を持つ非ケーラー・アインシュタインのファノ表面に、共形ケーラーかつアインシュタイン計量を構成できるか？
• RQ3 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2\#2\overline{\mathbb{C}\mathbb{P}}^2$ にこのような計量が存在することは、ヘルミート・アインシュタイン計量を有するコンパクトな複素表面の分類を完成させるのに十分か？
• RQ4 極値ケーラー計量は、複素表面における共形ケーラーかつアインシュタイン計量の構成において果たす役割は何か？
• RQ5 正の第一チャーン類 $c_1 > 0$ を持つ非自明なコンパクトな複素表面で、ケーラー・アインシュタイン計量を有さないがアインシュタイン計量を有する例は存在するか？

主な発見

• 複素表面 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2\#2\overline{\mathbb{C}\mathbb{P}}^2$ は正のリッチ曲率を持つヘルミート・アインシュタイン計量を有する。これは定理 A の証明である。
• この計量は、正のスカラー曲率 $s$ を持つ極値ケーラー計量 $g$ に共形であり、$h = s^{-2}g$ を満たす。
• このような計量の存在により、ヘルミート・アインシュタイン計量を有するコンパクトな複素表面の分類が完成した（補題 1 に記載）。
• この結果は、滑らかな 4 次元多様体が $\mathbb{C}\mathbb{P}^2\#k\overline{\mathbb{C}\mathbb{P}}^2$（$0 \leq k \leq 8$）または $S^2 \times S^2$ と向きを保つ微分同相である場合に正のアインシュタイン計量を有することを示唆する（補題 2 に記載）。
• 本論文は、第一チャーン類 $c_1(M)$ が、対称ケーラー類 $x=1$（命題 27 の区間 $(0,L)$ 内）に属する場合であっても、極値ケーラー計量のケーラー類であることを確立した。
• この構成により、$\mathbb{C}\mathbb{P}^2\#2\overline{\mathbb{C}\mathbb{P}}^2$ 上の広範な対称ケーラー類において極値ケーラー計量が存在することを確認し、対称設定における完全な存在定理の可能性を示唆した。