[論文レビュー] On congruences related to central binomial coefficients

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 25被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、調和数、オイラー数およびベルヌーイ数、フェルマー商を用いて、πの累乗に収束する中心二項係数を含む古典的級数のp進類似を確立する。truncateされた和のp²およびp³を法とする合同式を証明し、p進的設定における既知の無限級数恒等式を精緻化し、主要な結果として和がオイラー数および虚二次体の類数公式と関連することを示す。

ABSTRACT

It is known that $\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}/((2k+1)4^k)=π/2$ and $\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}/((2k+1)16^k)=π/3$. In this paper we obtain their p-adic analogues such as $$\sum_{p/23 is a prime and E_0,E_1,E_2,... are Euler numbers. Besides these, we also deduce some other congruences related to central binomial coefficients. In addition, we pose some conjectures one of which states that for any odd prime p we have $$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}{k}^3=4x^2-2p (mod p^2)$$ if (p/7)=1 and p=x^2+7y^2 with x,y integers, and $$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}{k}^3=0 (mod p^2)$$ if (p/7)=-1, i.e., p=3,5,6 (mod 7).

研究の動機と目的

• 中心二項係数を含む古典的無限級数のp進類似を確立し、それらが有理数倍のπ、π²、またはπ³に評価されることを示すこと。
• m=4,16,64およびr=1,2,3に対して、∑(k=0 to p−1) of binomial(2k,k)^m / (m^k * (2k+1)^r) の形をした有限和について、p²およびp³を法とする合同式を導出すること。
• 素数をx²+dy²の形に表す表現を通じて、これらのp進合同式をL関数の特別値および虚二次体の類数と関連付けること。
• 特にk³およびカタラン数を含む和について、より深いp進合同式の一般化を予想すること。
• 記号計算と組合せ的恒等式を用いて、中心二項係数の既知のp進付値および合同式を拡張すること。

提案手法

• 1/(2k+1) = ∫₀¹ x²ᵏ dx などの積分表現を用いて、無限級数と積分、p進的極限とを関連付ける。
• Sigmaソフトウェアを介して導出された組合せ的恒等式を応用し、二項係数binomial(2k,k)を含む和を調和数およびベルヌーイ数／オイラー数を含む表現に変換する。
• フェルマー商 qₚ(a) = (aᵖ⁻¹−1)/p およびリジング記号 (a/p) を用いて、p²を法とする合同式を表現する。
• 既知の調和数 Hₚ₋₁ ≡ −p²Bₚ₋₃/3 (mod p³) のp進展開を活用し、合同式を精緻化する。
• cusp form q∏(1−q⁴ⁿ)⁶ などの生成関数およびモジュラー形式を用いて、∑ binom(2k,k)³/64ᵏ mod p² におけるp進的挙動を特徴付ける。
• 数値的証拠および既知の級数（特にカタラン数および中心二項係数を含むもの）との構造的類似性に基づいた予想を立案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇素数pに対して、古典的級数 ∑ₖ₌₀^∞ binom(2k,k)/((2k+1)4ᵏ) = π/2 が、p²を法とするp進合同式に精緻化可能か？
• RQ2 奇素数p > 3に対して、和 ∑ₖ₌₀^((p−3)/2) binom(2k,k)/((2k+1)16ᵏ) およびその尾部和は、p²を法としてどのように振る舞うか？
• RQ3 p²を法とする ∑ₖ₌₀^p₋₁ k³ binom(2k,k)³ / 64ᵏ のp進的挙動は何か？また、p mod 4 にどのように依存するか？
• RQ4 和 ∑ₖ₌₀^p₋₁ Cₖ³ / 64ᵏ が、(p/7)=1 のとき、pをx²+7y²の形に表す表現を用いて類数公式で表せるか？
• RQ5 和 ∑ₖ₌₀^p₋₁ binom(2k,k)² / 8ᵏ および ∑ₖ₌₀^p₋₁ binom(2k,k)² / 32ᵏ は、x≡1 mod 4 を満たすx,yを用いた合同式を満たすか？

主な発見

• 奇素数pに対して、∑ₖ₌₀^((p−3)/2) binom(2k,k)/((2k+1)4ᵏ) ≡ (−1)^(p+1)/2 qₚ(2) (mod p²) が成り立ち、この和はフェルマー商と関連する。
• p > 3 のとき、∑ₖ₌₀^((p−3)/2) binom(2k,k)/((2k+1)16ᵏ) ≡ 0 (mod p²) であり、尾部和 ∑ₚ/₂<k<p ≡ (p/3)Eₚ₋₃ (mod p²) が成り立ち、オイラー数と関連する。
• p > 3 のとき、∑ₖ₌₀^((p−3)/2) binom(2k,k)/((2k+1)²4ᵏ) ≡ (−1)^(p+1)/2 qₚ(2)²/2 (mod p) が成り立ち、逆二項係数和のp進的挙動が精緻化される。
• p ≡ 1 (mod 4) のとき、∑ₖ₌₀^p₋₁ k³ binom(2k,k)³ / 64ᵏ ≡ 0 (mod p²) であり、p ≡ 3 (mod 4) のとき、≡ −1/640 ((p+1)/4)!)⁻⁴ (mod p) が成り立ち、p mod 4 に強く依存することが示される。
• p ≡ 3 (mod 4) のとき、∑ₖ₌₀^p₋₁ binom(p−1,k) binom(2k,k)³ / (−64)ᵏ ≡ 0 (mod p²) が成り立ち、ねじれた和におけるキャンセルが生じることを示す。
• p ≡ 3 (mod 4) のとき、∑ₖ₌₀^p₋₁ Cₖ² / 16ᵏ ≡ −3 (mod p) であり、∑ₖ₌₀^p₋₁ Cₖ³ / 64ᵏ ≡ 7 (mod p) が成り立ち、p ≡ 1 (mod 4) のとき、((p+1)/4)!)⁻⁴ を含む補正項が加わる。この結果は類数と関連する。