[論文レビュー] On conjugacy in regular epigroups

Ganna Kudryavtseva|ArXiv.org|May 27, 2006

semigroups and automata theory参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、正則epigroup（各要素の冪が部分群に属する半群）における包括的共軛基準を確立する。これは、因数分解可能な逆半群における$G$-共軛を特徴づけることで達成される。既知の共軛基準を統一的に証明し、全変換半群、線形類似物、および有限部分自動的変換を含む半群に対して新たな基準を導出する。また、${\mathcal{ISA}}(X)$がepigroupでないことを証明し、これによりそれに対する従来の共軛に関する主張が無効であることを示している。

ABSTRACT

Let $S$ be a semigroup. The elements $a,b\in S$ are called primarily conjugate if $a=xy$ and $b=yx$ for certain $x,y\in S$. The relation of conjugacy is defined as the transitive closure of the relation of primary conjugacy. In the case when $S$ is a monoid, denote by $G$ the group of units of $S$. Then the relation of $G$-conjugacy is defined by $a\sim_G b \iff a=g^{-1}bg$ for certain $g\in G$. We establish the structure of conjugacy classes for regular epigroups (i.e. semigroups such that some power of each element lies in a subgroup). As a corollary we obtain a criterion of conjugacy in terms of $G$-conjugacy for factorizable inverse epigroups. We show that our general conjugacy criteria easily lead to known and new conjugacy criteria for some specific semigroups, among which are the full transformation semigroup and the full inverse symmetric semigroup over a finite set, the linear analogues of these semigroups and the semigroup of finitary partial automatic transformations over a finite alphabet.

研究の動機と目的

• 正則epigroupにおける共軛類の構造的特徴づけを達成すること。ここでの正則epigroupとは、各要素の冪が部分群に属する半群を指す。
• 因数分解可能な逆半群における共軛基準を、$G$-共軛を用いて特徴づけること。これにより既知の結果を一般化する。
• 全変換半群やその線形類似物などの古典的半群における共軛基準の証明を統一的かつ簡略化すること。
• ${\mathcal{ISA}}(X)$の共軛基準に誤りがあったことの是正。これは、${\mathcal{ISA}}(X)$がepigroupでないことを証明することで達成される。従って、主定理の適用範囲外となる。

提案手法

• グリーンの関係と$\mathcal{D}$-類の構造を用いて、群に束縛された要素とその$\mathcal{H}$-類の振る舞いを分析する。
• 群の要素同士が共軛であるための必要十分条件として、それらが$G$-共軛であること、すなわちグリーンの関係によって誘導される$\mathcal{H}$-類間の同型を用いて証明する。
• 任意の要素$f$に対して、$f$の共軛性は、$f$の$\mathcal{D}$-類に付随する冪等元$e_f$を用いて$fe_f$の$G$-共軛性に還元できることを示す。この還元技術を導入する。
• 主基準を特定の半群に適用する際、その単位群と冪等元構造が$G$-共軛還元に必要な条件を満たしていることを確認する。
• 2文字アルファベット上の有限オートマトンを用いて反例を構成し、$f_{{\mathcal{A}},q_0}$が群に束縛されていないことを示す。これにより、${\mathcal{ISA}}(X)$がepigroupでないことが証明される。
• 証明は、オートマトン作用下での語の軌道を分析することに依拠し、無限大の鎖長が存在することを示す。これにより、補題11より群に束縛されていないことが導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則epigroupにおける共軛類の構造、特に$G$-共軛を用いた記述は何か？
• RQ2 因数分解可能な逆半群における共軛は、関連要素の$G$-共軛性を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 全変換半群$\mathcal{T}(X)$、${\mathcal{ISA}}(X)$、およびその有限部分変種のような半群における既知の共軛基準は、主定理から一様に導出可能か？
• RQ4 ${\mathcal{ISA}}(X)$、つまり有限アルファベット上の部分自動的置換からなる半群はepigroupか？この性質は共軛分類にどのような影響を及えるか？
• RQ5 非epigroup構造が共軛関係に与える影響は何か？特に、群の要素を含まない共軛類の存在はどのような意味を持つのか？

主な発見

• 正則epigroupにおいて、2つの群に束縛された要素が共軛であるための必要十分条件は、それらに対応する群の要素が$G$-共軛であることである。これにより、構造的共軛基準が得られる。
• 因数分解可能な逆半群において、2つの要素が共軛であるための必要十分条件は、$fe_f$と$ge_g$が$G$-共軛であることである。ここで$e_f$は$f$の$\mathcal{D}$-類に付随する冪等元である。
• ${\mathcal{ISA}}(X)$の有限部分変種$Fin{\mathcal{ISA}}(X)$における共軛基準は、$f \sim g$であるための必要十分条件が、$fe_f$と$ge_g$が$Fin{\mathcal{SA}}(X)$-共軛であることである。
• 有限自動的変換からなる半群$Fin{\mathcal{A}}(X)$についても同様の基準が成り立つ。すなわち、$f \sim g$であるための必要十分条件は、$\overline{fe_f}$と$\overline{ge_g}$が$Fin{\mathcal{SA}}(X)$-共軛であることである。
• 2文字アルファベット上に有限オートマトンを構成し、これにより誘導される部分置換$f_{{\mathcal{A}},q_0}$が無限大の鎖長を持つことを示した。これにより、群に束縛されていないことが証明された。
• その結果、${\mathcal{ISA}}(X)$はepigroupでないことが判明し、群の要素を含まない共軛類が存在する。これは[10]における従来の主張を無効にし、同文書で発表された共軛基準も成立しない。