[論文レビュー] On Conjugacy of MASAs and the Outer Automorphism Group of the Cuntz Algebra

Roberto Conti, Jeong Hee Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、Cuntz代数 $O_n$ の外部自己同型群および最大可換自己共役部分代数（MASA）の同型類を調査する。Bogolubov自己同型は、標準的MASA $D_n$ を保存するか、$D_n$ に内挿同型でない他のMASAへ写像する。その結果、$D_n$ に外挿同型では同型だが内挿同型ではない未数え上げ可能な多くのMASAの族を構成する。主な貢献は、$D_n$ に外挿同型では同型だが内挿同型ではない未数え上げ可能な多くのMASAが存在することの証明であり、$\mathrm{Out}(O_n)$ に豊かな構造が存在することを明らかにする。

ABSTRACT

We investigate the structure of the outer automorphism group of the Cuntz algebra and the closely related problem of conjugacy of MASAa in $\mathcal{O}_n$. In particular, we exhibit an uncountable family of MASAs, conjugate to the standard MASA $\mathcal{D}_n$ via Bogolubov automorphisms, that are not inner conjugate to $\mathcal{D}_n$.

研究の動機と目的

• Cuntz代数 $O_n$ の外部自己同型群 $\mathrm{Out}(O_n)$ の構造を理解すること。
• 特に $D_n$ に内挿同型でないMASAの同型類を、$O_n$ におけるMASAの同型類として調査すること。
• すべての $O_n$ の自己同型が $D_n$ を保存する自己同型に同型であるかどうかを特定し、そうでない場合にはその非同型なMASAを分類すること。
• Bogolubov自己同型が、$D_n$ に外挿同型では同型だが内挿同型ではないMASAを生成する役割を調査すること。

提案手法

• ユニタリ $u \in U(O_n)$ に関連するBogolubov自己同型 $\lambda_u$ を用いて、$O_n$ の自己同型を生成すること。
• これらの自己同型が標準的MASA $D_n$ に与える作用を分析し、$D_n$ を全体的に保存するか、他のMASAへ写像するかを特定すること。
• $\lambda_u(S_i) = u S_i$ で与えられる、$O_n$ のユニタリ*-自己準同型と、$O_n$ の自己同型構造を研究するための双対性を応用すること。
• 先行研究による $O_n$ 内の非周期的自己同型の分類結果を活用し、スペクトル部分空間とゲージ作用を分析すること。
• ゲージ作用 $\gamma_z(S_j) = z S_j$ および関連するスペクトル部分空間 $O_n^{(m)}$ を用いて $O_n$ を分解し、自己同型の挙動を分析すること。
• コアUHF部分代数 $F_n$ への条件付き期待値 $E = E_0$ を用いて、固定点代数と自己同型不変量を研究すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外挿同型では $D_n$ に同型だが内挿同型ではない $O_n$ 内のMASAは存在するか？
• RQ2 Bogolubov自己同型は、$D_n$ を内挿同型ではないMASAへ写像できるか？
• RQ3 $\mathrm{Out}(O_n)$ の構造、特にWeyl群の像と $n$-シフトの自己同型群との関係はいかなるものか？
• RQ4 非自明なゲージ自己同型は $\mathrm{Out}(O_n)$ の中心に属するか、それとも $O_2$ の場合と同様に非中心的か？
• RQ5 $\mathrm{Out}(O_2)$ の $\lambda(S_2)^{-1}$ で生成される正規部分群は、有限位数の元によって生成されるか？

主な発見

• 未数え上げ可能な多くのMASAの族が、$O_n$ 内に存在し、それらは外挿同型では $D_n$ に同型だが内挿同型ではない。これは定理3.7および系3.8で示された。
• Bogolubov自己同型は、$D_n$ を全体的に保存するか、$D_n$ に内挿同型でない他のMASAへ写像する。その行動には二分法的性質が存在する。
• $O_2$ における $u = S_{11}S_{12}^* + S_{12}S_{11}^* + P_{122} + P_2$ に対応する自己同型 $\lambda_u$ は位数2であり、$D_n$ に外挿同型では同型だが内挿同型ではない自己同型 $\lambda_w$ を誘導する。これにより、非自明なゲージ自己同型が $\mathrm{Out}(O_2)$ の中心に属さないことが示された。
• $\mathrm{Out}(O_2)$ の無限位数のすべての元は、交換子部分群内の2つの対合の積として表され、したがって $\mathrm{Out}(O_2)$ 及びその交換子部分群はすべて有限位数の元によって生成されることが示された。
• $\mathrm{Out}(O_2)$ の $\lambda(S_2)^{-1}$ で生成される正規部分群は、有限位数の元によって生成される。これは系4.7で示された。
• $\lambda(S_2)^{-1}|_{S_2}$ はほとんど単純である。なぜなら、Higman-Thompson群 $S_2$ を含み、その自己同型群に含まれるからである。これは命題4.8による。