[論文レビュー] On conjugates and the asymptotic distortion of 1-dimensional $C^{1+bv}$ diffeomorphisms

Andrés Navas|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、絶対連続な導関数と無理数回転数をもつ $C^{1+bv}$ 円周微分同相写像が、$C^{1+bv}$ 位相で回転に共役可能であることを確立し、ヘルマンの結果を $C^2$ から $C^{1+bv}$ 正則性へ改善している。さらに、このような微分同相写像の自由で可算なアーベル群に対しても、幾何的手段による明示的な共役列を用いて拡張している。

ABSTRACT

We show that a $C^{1+bv}$ circle diffeomorphism with absolutely continuous derivative and irrational rotation number can be conjugated to diffeomorphisms that are $C^{1+bv}$ arbitrary close to the corresponding rotation. This improves a theorem of M.~Herman, who established the same result but starting with a $C^2$ diffeomorphism. We prove that the same holds for countable Abelian groups of circle diffeomorphisms acting freely, a result that is new even in the $C^{\infty}$ context. Related results and examples concerning the asymptotic distortion of diffeomorphisms are presented. Along this path, we provide a straightened version of the classical Denjoy-Kocsma inequality for absolutely continuous potentials.

研究の動機と目的

• 絶対連続な導関数をもつ $C^{1+bv}$ 円周微分同相写像が、$C^{1+bv}$ 位相で回転に共役可能であるというヘルマンの定理を、$C^2$ から $C^{1+bv}$ 正則性へ拡張すること。
• 単一の微分同相写像からの共役結果を、絶対連続な導関数をもつ自由で可算なアーベル群の $C^{1+bv}$ 円周微分同相写像へ一般化すること。
• 群の各元における導関数の積に基づく幾何的手段を用いて、共役写像の明示的構成を提供すること。
• このような共役写像の対数的導関数の全変動が 0 に漸近することを確立し、$C^{1+bv}$ での収束を保証すること。
• 古典的なデニョイ・コクスマの不等式を、この力学的文脈における絶対連続なポテンシャルへ適合させた修正版を提示すること。

提案手法

• 成長する有限集合 $B(n-1)$ 内のすべての群元の導関数の正規化幾何平均となるような、共役写像 $h_n$ の導関数を構成する。
• コycle関係式と導関数の連鎖則を用いて、共役写像の歪み、特に対数的導関数の変動を分析する。
• ワイルの等分布定理を適用し、軌道セグメント上の第二対数的導関数のエルゴード平均が極限で消えることを示す。
• 回転への $C^1$ 共役から得られる $Dh_n$ および $Dh_n^{-1}$ の一様有界性を用いて、共役写像の対数的導関数の全変動を制御する。
• 導関数 $Dh_n$ が正規化幾何平均であることを利用し、一様 $L^1$-有界性と定数導関数 1 への収束を保証する。
• 経路に基づく構成を用いて $C^{1+bv}$ 収束を拡張し、列の結果を連続な共役経路へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘルマンの $C^{1+bv}$ 共役結果（$C^2$ 微分同相写像が $C^{1+bv}$ 位相で回転に共役可能）は、絶対連続な導関数をもつ $C^{1+bv}$ 微分同相写像へ拡張可能か？
• RQ2 自由で可算なアーベル群の $C^{1+bv}$ 円周微分同相写像が、$C^{1+bv}$ 位相で回転に共役可能か？
• RQ3 共役写像が $C^{1+bv}$ で対応する回転に収束するような明示的共役列 $h_n$ を構成可能か？
• RQ4 共役写像の対数的導関数の全変動の漸近的挙動は何か？また、歪み制御とどのように関係するか？
• RQ5 古典的なデニョイ・コクスマの不等式は、この力学的文脈における絶対連続なポテンシャルへどのように適合可能か？

主な発見

• 絶対連続な導関数と無理数回転数をもつ任意の $C^{1+bv}$ 円周微分同相写像は、$C^{1+bv}$ 位相で対応する回転に共役可能な $C^{1+bv}$ 共役写像の列をもつ。
• 絶対連続な導関数をもつ自由で可算なアーベル群の $C^{1+bv}$ 円周微分同相写像に対して、対応する回転群作用に収束する $C^{1+bv}$ 共役写像の経路が存在する。
• 集合 $B(n-1)$ 上での導関数の正規化幾何平均で定義される明示的共役列 $h_n$ により、$h_n f h_n^{-1} \to R_{\rho(f)}$ が $C^{1+bv}$ で成り立つ。
• 共役写像の対数的導関数の全変動は 0 に収束する。これは $C^{1+bv}$ 収束の主要因である。
• 証明により、軌道セグメント上の第二対数的導関数のエルゴード平均が極限で消えることが示され、これはワイルの等分布定理と群作用の構造による。
• この結果は、無理数回転数と絶対連続な導関数をもつ $C^{1+bv}$ 微分同相写像の共役類が、そのような写像の空間において $C^{1+bv}$ 稠密であることを示唆する。