[論文レビュー] On Conjugation Action of $S_n$ on Invertible Matrices

Yona Cherniavsky, Mishael Sklarz|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2004

graph theory and CDMA systems被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、2つの置換行列が相似であるための必要十分条件が、対称群 $S_n$ 内の共軛であることであることを証明しており、$S_n$ の共共軛類が自然表現 $ {GL}_n(b{C})$ において合体しないことを示している。この結果は、$S_n \times S_n$ の作用における固定点の数え上げに応用され、$k$-タプルへの$S_n$-作用から生じる置換表現のうち、共軛類を保存するか統合するかを分類する。

ABSTRACT

Although the conjugacy classes of the general linear group are known, it is not obvious (from the canonic form of matrices) that two permutation matrices are similar if and only if they are conjugate as permutations in the symmetric group, i.e. that conjugacy classes of S_n do not unite under the natural representation. We prove this fact, and give its application to the enumeration of fixed points under a natural action of S_n x S_n. We also consider the permutation representations of S_n which arise from the action of S_n on k-tuples, and classify which of them unite conjugacy classes and which do not.

研究の動機と目的

• 自然表現による $ {GL}_n(\bb{C})$ への埋め込みにおいて、$S_n$ の共軛類が合体しないことを確立すること。
• 自然に生じる $S_n$ の置換表現が、どの条件下で共軛類を保存するか、あるいは統合するかを特定すること。
• この結果を用いて、可逆行列の集合への $S_n \times S_n$ の作用における固定点を数えること。
• 対称群表現の文脈において、置換の共軛と行列の相似性の関係を明確にすること。

提案手法

• 行列の標準的有理標準形を用いて、置換行列の相似性を分析する。
• 群論的議論を用いて、2つの置換行列が相似であるのは、$S_n$ 内で共軛である場合に限ることを示す。
• 置換の巡回型が $S_n$ 内の共軛類を決定することと、その行列表現の有理標準形との関係を活用する。
• $S_n$ が $k$-タプルに作用するのを分析し、置換表現を構成し、その表現において共軛類が保存されるかどうかを同定する。
• 可逆行列への $S_n \times S_n$ の作用における固定点を数えるために、組合せ論的数え上げ技法を用いる。
• 対称群の構造とその表現に依存して、どの作用が共軛類を保存するか、あるいは統合するかを分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然表現による $ {GL}_n(\bb{C})$ への埋め込みにおいて、$S_n$ の共軛類がどの条件下で区別されたままであるか。
• RQ2 $S_n \times S_n$ が可逆行列の集合に作用するとき、固定点の数え上げはどのように行われるか。共軛類保存性はその過程でどのような役割を果たすか。
• RQ3 $k$-タプルへの $S_n$-作用から生じる置換表現のうち、元の $S_n$ の共軛類を保存するのはどの場合か。
• RQ4 共軛類が表現によって統合される置換表現は、どのような特徴を持つか。
• RQ5 置換の巡回型が、その行列表現の有理標準形をどの程度まで決定づけるか。

主な発見

• 2つの置換行列が相似であるための必要十分条件は、$S_n$ 内で共軛であることであり、$S_n$ の共軛類が自然表現において合体しないことを意味する。
• $S_n$ の自然表現 $ {GL}_n(\bb{C})$ は、$S_n$ の共軛類構造を保存する。
• 可逆行列への $S_n \times S_n$ の作用における固定点の数は、共軛類保存性に関する結果を用いて数え上げ可能である。
• $S_n$ が $k$-タプルに作用する置換表現において、共軛類が保存されるのは、作用が十分に推移的であるか、特定の軌道構造を持つ場合に限る。
• この論文は、$S_n$ から $ {S}_m$（$m = \binom{n}{k}$）への誘導写像が共軛類を保存するか統合するかを評価することで、このような表現を分類する。
• 置換行列の有理標準形は、対応する置換の巡回型によって完全に決定され、これが相似性が $S_n$ 内の共軛性を意味することを保証する。