[論文レビュー] On Connes amenability of upper triangular matrix algebras

S. F. Shariati, A. Pourabbas+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2018

Advanced Topics in Algebra参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$τ$-双対バナッハ代数$τ$と全順序集合$I$に対して、上三角行列代数$UP(I,\mathcal{A})$のコンネスアーメニティを調査する。$UP(I,\mathcal{A})$がコンネスアーメニタであるための必要十分条件は、$I$がシングルトンであり、かつ$τ$がコンネスアーメニタであることである。この結果を得るために、$τ$における$φ$-コンネスアーメニティの新たな特徴づけを、$τ \hat{\otimes} \u03c4$内に有界ネットが存在することによって与え、$φ$-コンネスアーメニタだがコンネスアーメニタでない代数の例を提示する。

ABSTRACT

In this paper, we study the notion of Connes amenability for a class of $I imes{I}$-upper triangular matrix algebra $UP(I,\mathcal{A})$, where $\mathcal{A}$ is a dual Banach algebra with a non-zero $wk^\ast$-continuous character and $I$ is a totally ordered set. For this purpose, we characterize the $ϕ$-Connes amenability of a dual Banach algebra $\mathcal{A}$ through the existence of a specified net in $\mathcal{A}\hat{\otimes}\mathcal{A}$, where $ϕ$ is a non-zero $wk^\ast$-continuous character. Using this, we show that $UP(I,\mathcal{A})$ is Connes amenable if and only if $I$ is singleton and $\mathcal{A}$ is Connes amenable. In addition, some examples of $ϕ$-Connes amenable dual Banach algebras, which is not Connes amenable are given.

研究の動機と目的

• $I\times I$上三角行列代数$UP(I,\mathcal{A})$のコンネスアーメニティを調査すること。ここで$τ$は双対バナッハ代数であり、$I$は全順序集合である。
• $\phi$-コンネスアーメニティの特徴づけを、$τ \hat{\otimes} \u03c4$内に特定の有界ネットが存在することによって行う。ここで$\phi$は非ゼロの$wk^*\!$-連続な乗法的汎関数である。
• $UP(I,\mathcal{A})$がコンネスアーメニタとなる正確な条件を同定し、双対バナッハ代数の理論における構造的問題を解決すること。
• $\phi$-コンネスアーメニタだがコンネスアーメニタでない双対バナッハ代数の明示的例を提示し、これらの2つの概念の違いを強調すること。

提案手法

• 特定の条件を満たす$τ \hat{\otimes} \u03c4$内に有界ネットが存在することと関連づけることで、$φ$-コンネスアーメニティの新たな特徴づけを導入する。ここで条件は乗法的汎関数$\phi$を含む。
• $UP(I,\mathcal{A})$の双対性構造を用い、これを$τ$のコピーの$\ell^1$-直和として特定することで、その双対バナッハ代数的性質の分析を可能にする。
• 双対バナッハ代数がコンネスアーメニタであるための必要十分条件として、ランデの基準（すなわち、$\sigma wc$-仮想対角が存在すること）を適用する。
• $wk^*\!$-連続性を有する乗法的汎関数およびモジュール写像の性質を用いて、弱*位相における微分作用素および双モジュールの挙動を分析する。
• 特定の条件を満たす$τ \hat{\otimes} \u03c4$内に適切な元が存在することを検証することで、$φ$-コンネスアーメニタ代数の明示的例を構成する。
• コンネスアーメニティが$φ$-コンネスアーメニティを含意することを用いて必要条件を導出し、その後、逆が成り立たないことを示す反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対バナッハ代数$τ$と全順序集合$I$に対して、上三角行列代数$UP(I,\mathcal{A})$がコンネスアーメニタとなる条件は何か？
• RQ2 $\phi$-コンネスアーメニティが、$τ \hat{\otimes} \u03c4$内に特定の条件を満たす有界ネットが存在することによって特徴づけられるか？ここで$\phi$は乗法的汎関数である。
• RQ3 双対バナッハ代数のクラスにおいて、$\phi$-コンネスアーメニティとコンネスアーメニティの間に厳密な違いがあるか。もし存在するならば、明示的例によってそれを示せるか？
• RQ4 $UP(I,\mathcal{A})$がコンネスアーメニタとなるために必要な十分な構造的性質は、$I$および$τ$のものとして何であるか？

主な発見

• $UP(I,\mathcal{A})$は、$I$がシングルトン集合であり、かつ$τ$がコンネスアーメニタであるときかつそのときに限り、コンネスアーメニタである。
• 双対バナッハ代数$τ$は、$\phi$-コンネスアーメニタであるための必要十分条件として、$τ \hat{\otimes} \u03c4$内に有界ネット$(m_\alpha)$が存在することである。ここで、任意の$a \in \mathcal{A}$に対して、$a \cdot m_\alpha - m_\alpha \cdot a \to \phi(a) \cdot m_\alpha$および$\pi_{\sigma wc}(m_\alpha) \to a$が弱*位相で成り立つ。$\phi$は非ゼロの$wk^*\!$-連続な乗法的汎関数である。
• $\mathcal{A} = \left\{ \begin{smallmatrix} \mathbb{C} & \mathbb{C} \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \right\}$は、$\phi$-コンネスアーメニタであるがコンネスアーメニタでない。これは、$\phi$-コンネスアーメニティがコンネスアーメニティよりも厳密に弱い概念であることを示している。
• $\phi$-コンネスアーメニティの特徴づけにおいて、$τ$上に$wk^*\!$-連続な乗法的汎関数$\phi$が存在することは不可欠であり、このような乗法的汎関数がネット条件を定義するために用いられる。
• 要素$u = \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$を用いて、$\mathcal{A} \hat{\otimes} \mathcal{A}$内に$\sigma wc$-仮想対角を構成することで、例としての代数の$\phi$-コンネスアーメニティが確認される。
• 証明により、$UP(I,\mathcal{A})$がコンネスアーメニタであったならば、$τ$は$\mathbb{C}$に同型でなければならないことが示され、これは$\mathcal{A}$がシングルトンであるときにのみ成立する。これにより、この条件の必要性が確立される。