[論文レビュー] On conservative partially hyperbolic abelian actions with compact center foliation

Danijela Damjanović, Disheng Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、コンpaktoな中心foliationを備えた滑らかで保存的かつ部分的双曲的$\ mathbb{Z}^k$-作用について、グローバルな剛性を確立する。可約性のない条件、バンディング条件、一様擬等角性条件のもとで、作用はトーラス上の線形Anosov作用とコンパクト多様体上の等長作用の積に滑らかに共役であるか、中心foliationが病理的である。主な貢献は、最大Cartan作用上の円周拡張についての二分法である：それらは本質的に代数的（回転と線形Anosov作用の積）であるか、中心foliationが病理的である。

ABSTRACT

We consider smooth partially hyperbolic volume preserving Z^k actions on smooth manifolds, with uniformly compact center foliation. We show that under certain irreducibility condition on the action, bunching and uniform quasiconformality conditions, the action is a smooth fiber bundle extension of an Anosov action, or the center foliation is pathological. We obtain several corollaries of this result. For example, we prove a global dichotomy result that any smooth conservative circle extension over a maximal Cartan action is either essentially a product of an action by rotations and a linear Anosov action on the torus, or has a pathological center foliation.

研究の動機と目的

• 可約性と幾何的条件のもとで、一様にコンパクトな中心foliationを備えた滑らかで保存的かつ部分的双曲的$\mathbb{Z}^k$-作用のグローバル剛性を確立すること。
• Anosov微分同相写像上の滑らかなファイブレーションに関するランク1の結果を、高ランクアーベル作用へと拡張すること。
• 最大Cartan作用上の保存的円周拡張についてのグローバル二分法を証明すること：代数的（回転と線形Anosov作用の積）か、病理的中心foliationである。
• 一様擬等角性の欠如下で、Anosov作用のグローバル剛性理論を保存的設定に拡張すること。

提案手法

• 高ランク力学系の技術、特に[16]および[37]における本質的コycle剛性を用いて、リャプノフfoliationと作用構造を分析する。
• 定理5（Anosov作用の保存的バージョンのグローバル剛性）を用いて、ファイブレーションの基本部分で滑らかな共役性を確立する。
• 一様コンパクト性のもとで中心foliationの動的整合性と自明なホロノミーを活用し、ファイブレーションが良好に振る舞うことを保証する。
• リャプノフ汎関数とWeylチャネルを用いて作用の完全性を確認し、強い双曲性を示す要素を同定する。
• 不変性原理とホロノミー写像の絶対連続性を用いて、中心foliationの正則性を制御する。
• 滑らかな共役性と二重被覆の議論により、問題を既知の線形Anosov作用の結果に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 保存的かつ部分的双曲的$\mathbb{Z}^k$-作用が一様にコンパクトな中心foliationを備えるとき、どのような条件下でAnosov作用の滑らかなファイバー束拡張に分解可能か？
• RQ2 最大Cartan作用上の保存的円周拡張は、グローバルに分類可能か？　代数的（回転と線形Anosov作用の積）か、病理的中心foliationであるか。
• RQ3 一様擬等角性の欠如が、高ランク設定における既存のAnosov作用のグローバル剛性結果の適用をどの程度妨げるか？
• RQ4 可約性とバンディング条件が、一様コンパクトな中心foliationを備えた部分的双曲的アーベル作用における構造的剛性をどのように強制するか？
• RQ5 コンパクトな中心foliationが病理的でない（Lebesgue分解と絶対連続ホロノミーを備える）ことを保証する条件は何か？

主な発見

• 任意の滑らかな保存的円周拡張は、最大Cartan作用上に存在するが、滑らかに共役であるか、中心foliationが病理的である。
• 可約性、バンディング、一様擬等角性の下で、一様にコンパクトな中心foliationを備えた$\mathbb{Z}^k$-作用は、トーラス上の線形Anosov作用とコンパクト多様体上の等長作用の積に滑らかに共役である。
• 中心foliationは、微分同相写像が$r$-バンドルであり、ホロノミーが一様に滑らかで、病理的ではない仮定のもとで$C^{r+}$-foliationであることが示された。
• 作用はリャプノフ汎関数の意味で完全（full）であることが証明され、これにより、二重被覆まで動的整合性と自明なホロノミーに関する結果の適用が可能となった。
• Anosov作用のグローバル剛性理論の保存的拡張が確立され、基本作用がトーラス上の線形Anosov作用に滑らかに共役であることが示された。
• 本稿では、1次元安定・不安定バンドルとコンパクトな中心foliationを備えた単一の微分同相写像について、新たなグローバル剛性結果を提供している。中心foliationが病理的でない場合、このような系は$C^{r+}$-滑らかに代数的モデルに共役であることが示された。