[論文レビュー] On contact discontinuities in multi-dimensional isentropic Euler equations

Jan Březina, Elisabetta Chiodaroli+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、接触不連続性を含むリーマン初期データを有する2次元圧縮可能な等エントロピーEuler方程式に対して、有界で許容可能な弱解の非一意性を確立する。凸結合技術を用いてファン型部分解を構築し、エントロピーおよび許容性条件を検証することで、初期速度成分が特定の不等式を満たす場合に無限個の解が存在することを証明する。これは、接触不連続性を含む場合にまで、先行する非一意性結果を拡張するものである。

ABSTRACT

In this short note we partially extend the recent nonuniqueness results on admissible weak solutions to the Riemann problem for the 2D compressible isentropic Euler equations. We prove nonuniqueness of admissible weak solutions that start from the Riemann initial data allowing a contact discontinuity to emerge.

研究の動機と目的

• 2次元圧縮可能な等エントロピーEuler方程式の非一意性結果を、接触不連続性を含むリーマン初期データへと拡張すること。
• 自己相似解に接触不連続性を含む場合、許容可能な弱解が一意に保たれるかどうかを調査すること、特に $ v_{-1} \neq v_{+1} $ の場合を対象とする。
• 部分解技術を用いて、特定の速度および密度条件の下で無限個の有界で許容可能な弱解の存在を確立すること。
• 構築された解がエントロピー不等式および許容性条件を満たすことを確認し、物理的妥当性を保証すること。

提案手法

• 中央領域の速度が $ \beta $ である自己相似アンザッツを用いて、二つの界面で分かれた区分定数状態からなるファン型部分解を構築する。
• 左および右の界面に対してRankine-Hugoniot条件を適用し、不連続性をはさんで状態を関連付ける。
• 許容可能な状態の凸包内に部分解が厳密に位置するように、部分解条件 $ \varepsilon_1 > 0 $, $ \varepsilon_2 > 0 $ を課す。
• 圧力、密度、速度差を含む不等式を用いて、両界面における許容性条件を検証する。
• 界面速度が $ \nu_- < \beta < \nu_+ $ を満たすことを確認し、これは[4]における先行の補題からの推定により裏付けられる。
• 非圧縮性Euler理論から適応された凸結合技術およびBaireのカテゴリー法を用いて、1つの部分解から無限個の解を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己相似解に接触不連続性を含む場合、2次元等エントロピーEuler方程式における許容可能な弱解の非一意性は維持されるか？
• RQ2 $ v_{-1} \neq v_{+1} $ を満たすリーマンデータに対して、接触不連続性が出現する場合に、無限個の有界で許容可能な弱解を構築できるか？
• RQ3 構築された部分解が許容性およびエントロピー不等式条件を満たすか？物理的妥当性が保証されるか？
• RQ4 速度差 $ v_{-2} - v_{+2} $ および密度比は、このような解の存在にどのように影響するか？

主な発見

• リーマン初期データに接触不連続性を含み、かつ $ v_{-1} \neq v_{+1} $ である場合、2次元等エントロピーEuler方程式に対して無限個の有界で許容可能な弱解が存在する。
• 非一意性結果は、すべてのRankine-Hugoniot条件、部分解条件、および許容性条件を満たすファン型部分解の構築により確立される。
• 界面速度は $ \nu_- < \beta < \nu_+ $ を満たし、部分解構造が有効であり、解が物理的に許容可能であることが保証される。
• 圧力、密度、速度差を含む不等式を用いて、両界面における許容性条件が検証され、$ \varepsilon_1, \varepsilon_2 > 0 $ が満たされている。
• 先行の非一意性定理 [4] および [5] を接触不連続性を含む場合にまで拡張し、文献における空白を埋めた。
• このような解の存在は、エントロピー不等式だけでは解の一意性を保証できないことを示唆しており、接触不連続性が存在する場合でも同様である。