[論文レビュー] On continuous functions definable in expansions of the ordered real additive group

Philipp Hieronymi, Erik Walsberg|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、順序付られた実加法群の拡張における連続関数の構造を調査する。すべての関数が稠密な開集合上でC²であるか、すべてのC²関数がアフィンであるか、すべての連続関数が定義可能であるかのいずれかである。NTP₂または第二階算術の解釈がない条件下では、最初の状況が成立し、C¹関数がすべての連続関数の定義可能性を示すのに十分である。

ABSTRACT

Let $\mathcal R$ be an expansion of the ordered real additive group. Then one of the following holds: either every continuous function $[0,1] o \mathbb R$ definable in $\mathcal R$ is $C^2$ on an open dense subset of $[0,1]$, or every $C^2$ function $[0,1] o \mathbb R$ definable in $\mathcal R$ is affine, or every continuous function $[0,1] o \mathbb R$ is definable in $\mathcal R$. If $\mathcal R$ is NTP$_{2}$ or more generally does not interpret a model of the monadic second order theory of one successor, the first case holds. It is due to Marker, Peterzil, and Pillay that whenever $\mathcal R$ defines a $C^2$ function $[0,1] o \mathbb R$ that is not affine, it also defines an ordered field on some open interval whose ordering coincides with the usual ordering on $\mathbb R$. Assuming $\mathcal R$ does not interpret second-order arithmetic, we show that the last statement holds when $C^2$ is replaced by $C^1$.

研究の動機と目的

• 順序付られた実加法群の拡張における定義可能な連続関数の構造を分類すること。
• すべての連続関数が定義可能となるモデル理論的条件を特定すること。
• 定義可能性とモデル理論的ななめらかさの文脈において、既知のC²に関する結果をC¹関数へと拡張すること。
• NTP₂および第二階算術の解釈の欠如が、定義可能な関数の挙動を制御する役割を明確にすること。

提案手法

• 順序付られた実加法群の拡張のモデル理論的性質を分析すること。
• Marker, Peterzil, Pillayの結果を応用し、非アフィンなC²関数から定義可能な順序体の存在を示すこと。
• NTP₂理論を用いて、定義可能な関数クラスの可能性を制限すること。
• 第二階算術の解釈がない場合、C¹関数が存在するならばすべての連続関数が定義可能であることを示すこと。
• 定義可能性転送技術を用いて、C¹関数が連続関数の全定義可能性を示すこと。
• 非アフィンなC²関数が定義可能な順序体を生じることを活用し、追加のモデル理論的仮定のもとでこれをC¹へと拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序付られた実加法群の拡張において、C¹関数の定義可能性が[0,1]上すべての連続関数の定義可能性を示す条件は何か？
• RQ2 NTP₂または第二階算術の解釈の欠如は、定義可能な連続関数の正則性および構造にどのように影響するか？
• RQ3 このような拡張において、すべての連続関数の定義可能性を引き起こすために必要な最小の滑らかさ条件（例：C¹対C²）は何か？
• RQ4 非アフィンなC²関数が拡張に存在する場合、ある区間で定義可能な順序体の存在を強制するか？
• RQ5 順序付られた実加法群の拡張における定義可能な連続関数を支配する三段階分類とは何か？

主な発見

• 順序付られた実加法群の拡張が[0,1]上で非アフィンなC²関数を定義可能とするならば、標準順序を伴うある開区間で順序体も定義可能である。
• NTP₂拡張、または1個の後続関数のモノディック第二階理論を解釈しない拡張では、[0,1]における定義可能な連続関数は稠密な開部分集合上でC²である。
• 構造が第二階算術を解釈しないと仮定すると、[0,1]上すべてのC¹関数の定義可能性は、すべての連続関数の定義可能性を示す。
• 定義可能な連続関数の三段階分類が成立する：すべてが稠密な開集合上でC²であるか、すべてのC²関数がアフィンであるか、すべての連続関数が定義可能である。
• より強いモデル理論的仮定の下で、C¹関数へと既存のC²に基づく結論を拡張し、なめらかさの条件が「なめらかさの条件」を満たすと、全定義可能性が引き起こされることを示した。