[論文レビュー] On convergence of partial derivatives of multivariate Bernstein polynomials

A. Yu. Veretennikov, Evguenia Veretennikova|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、関数の微分が連続である場合、多変数バーンシュタイン多項式が関数およびその偏微分に収束することを確立している。これは、古典的な単変数結果を高次元に拡張したものであり、有限差分近似と多変数大数の法則を用いた証明により、確率積分計算、特に多変数伊藤の公式の導出における根拠を厳密に与える。

ABSTRACT

It is be shown that the sequence of Bernstein polynomials for a function of several variables converges to this function uniformly along with every partial derivative of any order, provided that the latter derivative is well defined and continuous. This may be interesting in some questions of stochastic calculus, in particular, in a methodical proof of multidimensional Ito's formula based on the product rule.

研究の動機と目的

• 関数の真の偏微分に、多変数バーンシュタイン多項式の偏微分が収束することを確立すること。
• 関数およびその微分について有効な古典的単変数バーンシュタイン多項式収束結果を、多変数の場合に拡張すること。
• 多変数伊藤の公式の文脈において、2階微分の近似に関して、厳密な証明を提供すること。
• 多変数バーンシュタイン多項式の微分収束について、文献に明示的な参照が不足している問題を解決すること。

提案手法

• 多変数のバーンシュタイン多項式の微分公式の一般化を、多重指数記法と有限差分を用いて導出する。
• k階偏微分が、関数のk階有限差分の重み付き和として表現されることを用いる。
• n → ∞ のとき、均一に収束する正規化有限差分作用素 Δ^k_f(x) = n^|k| Δ_{1/n}^k f(x) を用いる。
• 多変数大数の法則を適用して、バーンシュタイン多項式の微分がコンパクト集合上で一様収束することを示す。
• 多重指数kに関する帰納法を用い、すべての微分順序に対して微分公式が成り立つことを証明する。
• 多項係数に関する組み合わせ的恒等式と再インデックス化を用いて、微分式の再帰的構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分が連続である場合、多変数バーンシュタイン多項式近似が偏微分の収束を保つのか？
• RQ2 単変数バーンシュタイン多項式の微分収束に関する古典的結果を、複数変数関数に一般化できるか？
• RQ3 多変数バーンシュタイン多項式の偏微分の収束は、定義域のコンパクト部分集合上で一様か？
• RQ4 有限差分近似は、多変数バーンシュタイン多項式微分の収束にどのような役割を果たすか？
• RQ5 多変数バーンシュタイン作用素は、微分情報をどのように保持するのか？そして、確率積分計算においてなぜ重要なのか？

主な発見

• 微分が連続である限り、多変数バーンシュタイン多項式は、元の関数およびすべてのk階までの偏微分に一様収束する。
• バーンシュタイン多項式のk階偏微分は、関数のk階有限差分を多項係数でスケーリングした和として表現される。
• 正規化有限差分 Δ_{1/n}^k f(x) は、n → ∞ のとき、k階偏微分 ∂^k f / ∂x^k に一様収束する。
• 多項式微分の収束は、ℝ^d における標準単体のコンパクト部分集合上で一様である。
• 本結果は、多変数伊藤の公式の証明にバーンシュタイン多項式を用いることの構成的かつ確率的根拠を提供する。
• 証明技法は、単変数の方法を多項分布を用いた多変数設定に拡張する。