[論文レビュー] On convergence of the Flint Hills series

Max A. Alekseyev|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2011

Meromorphic and Entire Functions参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、フリンツ・ヒルズ級数 ∑1/(n³·sin²(n)) の収束性と π の無理数論的測度 μ(π) の間に直接的な関係を確立する。収束が成立すれば μ(π) ≤ 2.5 が示され、現在の最良の上界 7.6063 よりも著しく強力な結果が得られる。この結果は、∑1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) の形をした級数へ一般化され、収束条件は μ(π) に依存する。

ABSTRACT

It is not known whether the Flint Hills series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3\cdot\sin(n)^2}$ converges. We show that this question is closely related to the irrationality measure of $π$, denoted $μ(π)$. In particular, convergence of the Flint Hills series would imply $μ(π) \leq 2.5$ which is much stronger than the best currently known upper bound $μ(π)\leq 7.6063...$. This result easily generalizes to series of the form $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^u\cdot |\sin(n)|^v}$ where $u,v>0$. We use the currently known bound for $μ(π)$ to derive conditions on $u$ and $v$ that guarantee convergence of such series.

研究の動機と目的

• フリンツ・ヒルズ級数 ∑₁^∞ 1/(n³·sin²(n)) の収束性を調査すること
• この級数の収束性と π の無理数論的測度 μ(π) の間の関係を確立すること
• u,v > 0 に対して ∑1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) の形をしたより広範な級数クラスへの一般化を図ること
• 既知の μ(π) の上界に基づいた収束基準を導出すること
• 収束または発散が μ(π) の値に与える意味を明確化すること

提案手法

• 無理数論的測度 μ(π) を、|π - p/q| < 1/qᵐ を満たす互いに素な p,q が有限個しか存在しないような m の下限として定義する
• 補題 1 を用いて、n から最も近い π の倍数までの距離を用いて |sin(n)| の下界を評価する
• m = ⌊n/π⌋ とすると、|n - mπ| ≤ π/2 のとき |sin(n)| ≥ (2/π)·|n - mπ| が成り立つことを利用する
• |π - p/q| < 1/qᵏ を満たす q が有限個しか存在しないならば、十分大きな n に対して |sin(n)| は n⁻ᵏ⁺¹ よりも速やかに増大することを用いる
• 任意の ε > 0 に対して 1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) = O(1/nᵘ⁻⁽μ(π)⁻¹⁾ᵛ⁻ᵉ) という評価を用いて減衰速度を分析する
• p-級数の収束判定法を適用し、ζ(w) に比較することで w = u - v(μ(π) - 1) - ε > 1 であるかを検証する

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フリンツ・ヒルズ級数 ∑₁^∞ 1/(n³·sin²(n)) は収束するか？
• RQ2 フリンツ・ヒルズ級数の収束性と無理数論的測度 μ(π) の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 u と v に対してどのような条件下で一般化された級数 ∑₁^∞ 1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) が収束するか？
• RQ4 既知の μ(π) の上界がこのような級数の収束性にどのように影響するか？
• RQ5 級数の発散が μ(π) の非自明な下界を示すことができるか？

主な発見

• フリンツ・ヒルズ級数 ∑₁^∞ 1/(n³·sin²(n)) の収束が成立すれば、μ(π) ≤ 2.5 が導かれる。これは現在の最良の上界 7.6063 よりも著しく強い結果である。
• μ(π) < 1 + u/v ならば、1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) の列は 0 に収束する。
• μ(π) > 1 + u/v ならば、1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) の列は発散する。なぜなら、0 から離れた下界を持つ部分列を含むからである。
• μ(π) < 1 + (u - 1)/v ならば、級数 ∑₁^∞ 1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) は収束する。これは (u,v) = (8,1), (15,2), (21,3) のような場合を含む。
• フリンツ・ヒルズ級数の発散は、補題 6 よりも非自明な μ(π) の下界をもたらさない。
• 現在知られている最良の上界 μ(π) ≤ 7.6063 から、1 + u/v > 7.6063 を満たすすべての (u,v) に対して、1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) の列は 0 に収束する。これは (7,1), (14,2), (20,3) のような場合を含む。