[論文レビュー] On convergence rate for Erlang--Sevastyanov type models with infinitely many servers

A. Yu. Veretennikov|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、到着およびサービス強度がシステム状態に依存する無限台のサーバーを有する一般化されたエルラン＝セヴァスチヤノフモデルに対して、定常分布への多項式的収束速度を確立する。リャプノフ関数とカップリング技術を用いて、非定常分布と定常分布との全 Variation 距離が多項式的に減少することを証明し、初期状態およびシステムパラメータに依存する明示的で有効な境界を与える。

ABSTRACT

Polynomial convergence rate to stationarity is shown for extended Erlang -- Sevastyanov's model.

研究の動機と目的

• 無限台のサーバーと状態依存到着およびサービス強度を有する一般化されたエルラン＝セヴァスチヤノフモデルの定常分布への収束速度を確立すること。
• 到着およびサービス強度が顧客数にのみ依存する場合に限られていた従来の収束速度に関する結果を、連続的なサービス時間の完全な状態依存性を有するモデルへと拡張すること。
• 指数的または強い混合条件を仮定しないで、収束速度に対する明示的な多項式的境界を提供すること。
• 特に密度や滑らかさの要件がない状況下でも、強度関数に対する最小限の仮定のもとで収束速度を評価するという未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• プロセスの成長を制御し安定性を保証するため、パrameters $ m, a, \theta $ を有するリャプノフ関数 $ V_{m,a+\theta}(X) $ を構築する。
• ハリス–ハスミンスキーの公式を用いて、再生状態 $ (1,0,0) $ の期待滞在時間を用いて定常測度 $ \mu $ を表現し、明示的なモーメント境界を可能にする。
• 任意の初期状態から出発するプロセスと定常分布から出発する独立なコピーとの間のカップリングを適用し、全 Variation 距離を境界付ける。
• リャプノフ関数と不等式 $ \mathbb{P}(t < \bar{\tau}_{0011}) \leq \frac{\mathbb{E}[\bar{\tau}_{0011}^{k+1}]}{t^{k+1}} $ を用いて、カップリング時間 $ \bar{\tau}_{0011} $ のモーメント境界を導出し、多項式的減衰を導く。
• 純 Birth および Death プロセスによる確率的支配を用いて、定常測度における正規化定数 $ c $ を推定し、有効な上界を導出する。
• カップリング時間のモーメント境界とカップリング不等式を組み合わせることで、全 Variation における最終的な収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態依存到着およびサービス強度を有する無限サーバー Erlang–Sevastyanov モデルにおける定常分布への収束速度は何か？
• RQ2 サービス時間分布の連続性、密度、指数的尾部条件を仮定しないで、多項式的収束速度を確立できるか？
• RQ3 リャプノフ関数法は、無限台のサーバーと一般状態依存強度を有するシステムにどのように適合できるか？
• RQ4 再生時間とカップリングの役割は、非マルコフ的または非指数的サービス時間モデルの明示的収束境界を導出するうえで果たすか？
• RQ5 モーメント推定と確率的支配の議論のみを用いて、収束速度に対する有効な境界を導出できるか？

主な発見

• 所定の仮定のもとで、非定常分布と定常分布との全 Variation 距離は $ O(t^{-k-1}) $ として多項式的に減少する。ここで $ k \geq 1 $ である。
• 収束速度は、リャプノフ関数 $ V_{m,a+\ell/m}(X_0) $ で有界な初期状態の全範囲にわたって一様である。その境界はシステムパラメータに依存する。
• 定常分布 $ \mu $ は存在し一意的であり、ハリス–ハスミンスキーの公式とモーメント境界によってその存在が裏付けられる。
• カップリング時間のモーメントをバインドする上で中心的な役割を果たす、積分 $ \int V_{m,a+\ell/m}(X) \, \mu(dX) $ に対する明示的上界 $ C_1 $ が導出される。
• 定常測度における正規化定数 $ c $ は、到達時間の確率的支配を用いて $ \frac{\bar{\lambda}_0 D}{\bar{\lambda}_0 + D} $ で上界が与えられる。
• 最終的な収束境界は $ \mathbb{P}_{X_0,\mu}(t < \bar{\tau}_{0011}) \leq \frac{C(V_{m,a+\ell/m}(X_0) \vee 1 + \tilde{C}_1)}{t^{k+1}} $ であり、多項式的減衰を証明する。