[論文レビュー] On convex combinations of slices of the unit ball in Banach spaces

R. Haller, Paavo Kuuseok+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Rings, Modules, and Algebras参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間におけるスライスの凸結合に関して、相対的弱開性、空でない弱内部、および単位球面との交わりという3つの性質がすべて相異なるものであり、互いに同値でないことを確立している。著者らは、2つのバナッハ空間の1-和が性質(P1)を満たさないが、両方の和成分が(P1)を持つ場合には(P2)を満たすことを証明し、$C[0,1]$が(P3)を満たすが(P2)を満たさないことを示し、すべての包含関係が厳密であることを示す厳密な階層 $ ext{(P1)} \Rightarrow \text{(P2)} \Rightarrow \text{(P3)}$ を確立している。

ABSTRACT

We prove that the following three properties for a Banach space are all different from each other: every finite convex combination of slices of the unit ball is (1) relatively weakly open, (2) has nonempty interior in relative weak topology of the unit ball, and (3) intersects the unit sphere. In particular, the $1$-sum of two Banach spaces does not have property (1), but it has property (2) if both the spaces have property (1); the Banach space $C[0,1]$ does not have property (2), although it has property (3).

研究の動機と目的

• バナッハ空間の単位球内のスライスの凸結合に関する3つの異なる性質—相対的弱開性、空でない弱内部、および単位球面との交わり—の関係を調査すること。
• これらの性質が、含意関係において同値であるか、あるいは厳密な階層的関係にあるかを特定すること。
• 特に絶対ノルムを伴う直和（1-和）におけるこれらの性質の挙動を分析すること。
• $C[0,1]$ が性質(P3)を満たすが(P2)を満たさないことを示し、含意 $\text{(P2)} \Rightarrow \text{(P3)}$ が厳密であることを証明すること。
• 2つのバナッハ空間の1-和が、両方の和成分が(P1)を満たしても(P1)を満たさないことを示し、含意 $\text{(P1)} \Rightarrow \text{(P2)}$ が厳密であることを証明すること。

提案手法

• 著者らは、バナッハ空間に対して3つの性質(P1)、(P2)、(P3)を定義する：(P1) 任意のスライスの凸結合は相対的弱開である；(P2) 任意の同様の結合は相対的弱位相における空でない内部を持つ；(P3) 任意の同様の結合は単位球面と交わる。
• 彼らは、任意の空でない相対的弱開集合がスライスの凸結合を含むというバウルギンの補題を用いて、逆の含意を対比する。
• 論文は、特に $\ell^1$-ノルムに注目して、$\mathbb{R}^2$ 上の絶対正規化ノルムを用いた $\ell^1$-和（1-和）におけるこれらの性質の安定性を分析する。
• 重要な技術的道具は、$X^*$ および $Y^*$ からの汎函数を用いて $X \oplus_N Y$ における特定のスライスを構成し、$N \neq \ell^\infty$ のとき、それらの凸結合が相対的弱開でないことを示すものである。
• $C[0,1]$ に対して、正則なボレル測度、ハーン分解、およびティエッチェの拡張定理を用いた測度論的議論を用いて、関数 $u$ を構成し、それが特定の2つのスライスの半和に属さないが、スライスの凸結合に属することを示す。これにより(P2)が破られる。
• $C[0,1]$ における(P2)の破綻の証明は、すべての $j$ に対して $|\nu_j(u - z)| < \gamma$ だが、$\mu(B^u_0) > 2\varepsilon$ となるような関数 $u$ を構成することに依拠しており、$u$ が2つのスライスの半和に属さないため、(P2)に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スライスの凸結合に関して、単位球内のバナッハ空間において、相対的弱開性、空でない弱内部、および単位球面との交わりという3つの性質は同値であるか？
• RQ2 2つのバナッハ空間の1-和は、両方の和成分が(P1)を持つ場合に(P1)を保存するか？
• RQ3 $C[0,1]$ は(P2)を持つ、すなわちすべてのスライスの凸結合が空でない弱内部を持つのか？
• RQ4 含意 $\text{(P1)} \Rightarrow \text{(P2)} \Rightarrow \text{(P3)}$ の厳密性は、明示的な反例によって示せるか？
• RQ5 絶対正規化ノルム（例：$\ell^1$、$\ell^\infty$）の選択が、直和におけるこれらの性質の安定性に果たす役割は何か？

主な発見

• 2つのバナッハ空間の1-和は、両方の和成分が(P1)を満たしても(P1)を満たさない。これは(P1)が $\ell^1$-和に関して保存されないことを示している。
• 2つのバナッハ空間の1-和は、両方の和成分が(P1)を満たしていれば(P2)を満たす。これは(P2)が(P1)が和成分に成立する場合に $\ell^1$-和に関して保存されることを示している。
• バナッハ空間 $C[0,1]$ は性質(P3)を満たす。これは、すべてのスライスの凸結合が単位球面と交わることを意味する。
• バナッハ空間 $C[0,1]$ は性質(P2)を満たさない。これは、スライスの凸結合の中に相対的弱位相における空でない内部を持たないものがあることを意味する。
• 関数 $u$ がスライスの凸結合に属するが、特定の2つのスライスの半和に属さないことを示す構成により、このような結合の弱内部が空である可能性があることが示された。
• 論文は、反例を提供することにより、すべての含意が厳密であることを示す厳密な階層 $\text{(P1)} \Rightarrow \text{(P2)} \Rightarrow \text{(P3)}$ を確立している。