[論文レビュー] On convex functions on the duals of $\Delta_2$-Orlicz spaces

Freddy Delbaen, Keita Owari|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2016

Risk and Portfolio Optimization被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$Δ_2$-Orlicz空間の双対空間上での凸関数が、Mackey位相に関して下半連続（ respectively 連続）であるための必要十分条件を、確率収束に関する順序区間上での下半連続性（ respectively 連続性）に帰着させることを確立している。主要な Komlós 型の結果により、$L^{\Phi^*}$ 内のノルム有界列の凸結合がほとんど everywhere 収束することを保証し、Orliczノルムにおける一様可積分性も保証される。

ABSTRACT

In the dual $L^{\\Phi^*}$ of a $\\Delta_2$-Orlicz space $L^\\Phi$, we show that a proper (resp. finite) convex function is lower semicontinuous (resp. continuous) for the Mackey topology $\ au(L^{\\Phi^*},L^\\Phi)$ if and only if on each order interval $[-\\zeta,\\zeta]=\\{\\xi: -\\zeta\\leq \\xi\\leq\\zeta\\}$ ($\\zeta\\in L^{\\Phi^*}$), it is lower semicontinuous (resp. continuous) for the topology of convergence in probability. For this purpose, we provide the following Koml\\'os type result: every norm bounded sequence $(\\xi_n)_n$ in $L^{\\Phi^*}$ admits a sequence of forward convex combinations $\\bar{\\xi}_n\\in\\mathrm{conv}(\\xi_n,\\xi_{n+1},...)$ such that $\\sup_n|\\bar{\\xi}_n|\\in L^{\\Phi^*}$ and $\\bar{\\xi}_n$ converges a.s.

研究の動機と目的

• $L^\Phi$ を $Δ_2$-Orlicz空間とするとき、その双対空間 $L^{\Phi^*}$ 上の凸関数の Mackey 位相に関する下半連続性と連続性を特徴づけること。
• 凸関数の位相的性質と、$L^{\Phi^*}$ 内の順序区間における確率収束との間の関係を確立すること。
• $L^{\Phi^*}$ 内のノルム有界列に対して、凸結合のほとんど everywhere 収束を保証するとともに、Orliczノルムにおける一様可積分性を満たす Komlós 型定理を証明すること。
• 確率的収束モードを用いた関数解析的枠組みを提供し、Orlicz双対空間上での凸関数の研究を可能とすること。

提案手法

• 凸関数の解析にあたって、$L^{\Phi^*}$ 上の主な位相的構造として Mackey 位相 $\tau(L^{\Phi^*}, L^\Phi)$ を用いる。
• 下半連続性および連続性の研究を局所化するために、$L^{\Phi^*}$ 内の順序区間 $[-\zeta, \zeta]$ の概念を適用する。
• Komlós 型の結果を導入する：$L^{\Phi^*}$ 内の任意のノルム有界列は、$\sup_n |\bar{\xi}_n| \in L^{\Phi^*}$ かつ $\bar{\xi}_n \to \xi$ almost surely となるような前向き凸結合 $\bar{\xi}_n$ を持つ。
• 順序区間上での凸関数の位相的挙動を特徴づけるために、確率収束を主要な収束モードとして用いる。
• Mackey 位相における連続性と、順序区間上での確率収束に関する連続性との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L^{\Phi^*}$ 上のproperな凸関数が Mackey 位相に関して下半連続であるのはいつか？
• RQ2 $L^{\Phi^*}$ 上の有限凸関数が Mackey 位相に関して連続であるのはいつか？
• RQ3 順序区間上での確率収束を用いて、$L^{\Phi^*}$ 上の凸関数の挙動をどのように特徴づけられるか？
• RQ4 $L^{\Phi^*}$ 内のノルム有界列に対して、凸結合によって保証される収束性の性質は何か？

主な発見

• $L^{\Phi^*}$ 上の proper な凸関数が Mackey 位相 $\tau(L^{\Phi^*}, L^\Phi)$ に関して下半連続であるための必要十分条件は、各順序区間 $[-\zeta, \zeta]$ において確率収束に関して下半連続であることである。
• $L^{\Phi^*}$ 上の有限凸関数が Mackey 位相に関して連続であるための必要十分条件は、各順序区間 $[-\zeta, \zeta]$ において確率収束に関して連続であることである。
• $L^{\Phi^*}$ 内の任意のノルム有界列 $(\xi_n)$ は、$\bar{\xi}_n \in \mathrm{conv}(\xi_n, \xi_{n+1}, \dots)$ となるような前向き凸結合の列 $\bar{\xi}_n$ を持ち、$\sup_n |\bar{\xi}_n| \in L^{\Phi^*}$ かつある $\xi \in L^{\Phi^*}$ に対して $\bar{\xi}_n \to \xi$ almost surely となる。
• 一様可積分性条件 $\sup_n |\bar{\xi}_n| \in L^{\Phi^*}$ により、凸結合の極限挙動が Orliczノルムにおいて制御可能となる。