[論文レビュー] On convex holes in $d$-dimensional point sets

Boris Bukh, Ting-Wei Chao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Mathematical Approximation and Integration参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般位置にあるd次元点集合における最大の穴のサイズの上界を改善し、O(4^d d log d)以上の穴を持たない任意に大きな集合が存在することを示している。2進数の緩い(t,m,s)-ネットに基づく新規構成を用いることで、著者たちは2^{7d}という上界を達成し、Valtrの以前のd^{d+o(d)}の上界を著しく改善した。h(d)のより鋭い推定値が得られた。

ABSTRACT

Given a finite set $A \subseteq \mathbb{R}^d$, points $a_1,a_2,\dotsc,a_{\ell} \in A$ form an $\ell$-hole in $A$ if they are the vertices of a convex polytope which contains no points of $A$ in its interior. We construct arbitrarily large point sets in general position in $\mathbb{R}^d$ having no holes of size $O(4^dd\log d)$ or more. This improves the previously known upper bound of order $d^{d+o(d)}$ due to Valtr. The basic version of our construction uses a certain type of equidistributed point sets, originating from numerical analysis, known as $(t,m,s)$-nets or $(t,s)$-sequences, yielding a bound of $2^{7d}$. The better bound is obtained using a variant of $(t,m,s)$-nets, obeying a relaxed equidistribution condition.

研究の動機と目的

• 一般位置にあるd次元点集合における穴の最大サイズの既知の上界を改善すること。
• h(d)、つまりすべての十分に大きなd次元点集合がℓ-穴を含むような最大のℓを特定する長年の未解決問題に取り組むこと。
• 組合せ論的および不均一性理論的道具を用いて、大きな穴のない点集合を構成すること。
• Valtrの以前のd^{d+o(d)}の上界を、素数積構造の代わりに2進数ネットに基づくより効率的な均等分布フレームワークを用いて改善すること。

提案手法

• 均等分布に用いられる不均一性理論で知られる2進数の(t,m,s)-ネットを用いて点集合を構成すること。
• より小さい品質パrameter tを許容する緩い均等分布条件を導入し、穴のサイズの上界を低減すること。
• 2進数の(t,s)-系列の構造を用いて、高次元におけるホーパーストの構成の一般化版を適用すること。
• 射影と凸包の議論を用いて、構成された集合に大きな空の凸多面体が存在できないことを示すこと。
• 中国剰余定理とdyadic部分ボックスを用いて、空間全体にわたり点が均等に分布することを保証すること。
• 点が部分集合の相対的内部にあれば、それは大きな空の凸多面体の一部にはなり得ないことを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般位置にあるd次元点集合における穴の最大サイズは何か？
• RQ2 Valtrのd^{d+o(d)}の指数的上界を、h(d)に関してさらに改善できるか？
• RQ3 2進数の(t,m,s)-ネットに基づく構成は、従来の素数に基づく手法よりも、穴のない集合の上界をより良く得られるか？
• RQ4 O(4^d d log d)以上の穴を持たない、任意に大きなd次元点集合を構成することは可能か？
• RQ5 2進数ネットに基づく構成は、Valtrの手法で見られる素数積の超指数的依存性を回避できるか？

主な発見

• 本稿は、h(d) < 2^{7d}という新しい上界を確立し、Valtrのd^{d+o(d)}の上界を改善した。
• 特定の次元では、上界は著しく鋭くなった：h(3) ≤ 32、h(4) ≤ 240、h(5) ≤ 988、h(6) ≤ 8000。
• 上記の改善された上界は、素数因数を必要としない緩い均等分布条件を用いた(t,m,s)-ネットの変種によって達成された。
• 構成は2進数の(t,s)-系列およびその切り詰めを用い、分布が制御され、大きな空の凸多面体を含まない点集合を生成した。
• 著者らは、この方法で構成された任意の集合が、O(4^d d log d)より大きな穴を含まないことを示した。これは、従来の結果よりも漸近的に優れている。
• この手法により、Valtrの上界に現れる超指数的項が、複数の素数モジュラスの使用に起因しており、これを1つの2進数構造に置き換えることで、より良好なスケーラビリティが達成可能であることが示された。