[論文レビュー] On convex hulls of orbits of Coxeter groups and Weyl groups

Georg Hofmann, Karl‐Hermann Neeb|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コックスター群およびウェイル群がベクトル空間に作用する際の軌道に関する凸性定理を確立し、ティーツの錐に属する任意の元の軌道が、正のコルートが生成する凸錐の平行移動に含まれることを証明する。主な結果は、ウェイル群の軌道の凸包が群の作用によって完全に決定されることを示しており、局所的有限および局所的アフィン根系における線形関数の最小化に応用する。

ABSTRACT

The notion of a linear Coxeter system introduced by Vinberg generalizes the geometric representation of a Coxeter group. Our main theorem asserts that if $v$ is an element of the Tits cone of a linear Coxeter system and $\cW$ is the corresponding Coxeter group, then $\cW v \subeq v - C_v,$ where $C_v$ is the convex cone generated by the coroots $\check α$, for which $α(v) > 0$. This implies that the convex hull of $\cW v$ is completely determined by the image of $v$ under the reflections in $\cW$. We also apply an analogous result for convex hulls of $\cW$-orbits in the dual space, although this action need not correspond to a linear Coxeter system. Motivated by the applications in representation theory, we further extend these results to Weyl group orbits of locally finite and locally affine root systems. In the locally affine case, we also derive some applications on minimizing linear functionals on Weyl group orbits.

研究の動機と目的

• 局所的有限および局所的アフィンリー代数のユニタリ表現理論の文脈において、ウェイル群の軌道の凸包の構造を理解すること。
• 線形コックスター系を用いて、有限およびアフィンコックスター群の結果を無限次元設定に一般化すること。
• 特に7つの非可約型について、局所的アフィンの場合のd-最小重みを特徴づけること。
• アフィンウェイル群の軌道における線形関数の最小化を、根系のローレンツ幾何と関連して分析すること。
• 有界性および根系パラメータに基づいて、d-最小関数の完全分類を提供すること。

提案手法

• 有限次元実ベクトル空間上での反射データに基づく線形コックスター系（条件(LCS1)–(LCS3)を満たす）を用い、ティーツの錐 T = WK を定義する。
• v ∈ T に対して、Wv ⊆ v − Cv を示し、ここで Cv = cone{ˇα : α(v) > 0} である。正値性および長さ関数の関係を用いる。
• 双対空間 V* に双対化し、コルート系の双対錐に制限することで、重み軌道への応用を可能にする。
• 有限およびアフィンウェイル群の直下極限を用いて、局所的有限および局所的アフィン根系への主な凸性定理の応用。
• アフィンウェイル群を半直積 N ⋊ W として構造化し、N がローレンツ形式上でユニポテンツ等長写像を作用させることを用いる。
• 無限次元格子上の二次形式の最小化に帰着する、d-値の最小化を分析するための式 (cWλ)(d) = {λc‖x‖²/2 + λ(x) + λd : x ∈ T} を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウェイル群の軌道の凸包がコルート錐の平行移動に含まれる条件は何か？
• RQ2 群の作用と根データのみを用いて、ティーツの錐内の軌道の凸包をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 局所的アフィンの場合、d-最小重みはどのように特徴づけられ、関数の有界性とどのように関係するか？
• RQ4 アフィンウェイル群の軌道が最小d-値を含むのはいつか？また、下からの有界性を保証する条件は何か？
• RQ5 アフィンウェイル群が半直積として構造化されていることにより、軌道上の線形関数の最小化にどのように寄与するか？

主な発見

• 任意の v ∈ T に対して、軌道 Wv は v − Cv に含まれる。ここで Cv は α(v) > 0 を満たすコルート ˇα が生成する凸錐である。
• Wv の凸包は、v における W の作用によって完全に決定され、群の作用以外の軌道構造に依存しない。
• 局所的有限の場合、d-最小重みは存在し、関数 λ: J → R の有界性によって特徴づけられる。
• 7つの非可約局所的アフィン根系に対して、λ = (λc, λ, λd) のd-最小性は、max λ − min λ および |λj|, |λj ± λk| が λc に対して相対的に満たす不等式系と同値である。
• 非ねじれ型（X(1)J）では、d-最小性は max λ − min λ ≤ λc に帰着するが、ねじれ型では追加の制約（例：|λj| + |λk| ≤ λc または |λj| ≤ λc/2）が適用される。
• λ2k−1 = 1 + 1/k² かつ λ に有限な台を持つ反例により、(cWλ)(d) が下から有界であるが最小値を含まない関数が存在することが示された。