[論文レビュー] On convolution groups of completely monotone sequences/functions and fractional calculus

Lei Li, Jian‐Guo Liu|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、局所可積分関数、特に有限時刻で爆発する関数を含むクラスに対して、畳み込み群の枠組みを用いた一般化されたCaputo微分を導入する。分布に基づく分数階微積分と完全単調核を用いることで、t > 0 においてRiemann-Liouville微分と整合的でありつつ、最小限の条件下で分数階ODEおよびPDEに対して一般化されたGronwallの不等式と頑健なエネルギー推定を確立する。

ABSTRACT

We extend in this paper the definition of Caputo derivatives of order in $(0,1)$ to a certain class of locally integrable functions using a convolution group. Our strategy is to define a fractional calculus for a certain class of distributions using the convolution group. When acting on causal functions, this fractional calculus agrees with the traditional Riemann-Liouville definition for $t>0$ but includes some singularities at $t=0$ so that the group property holds. Then, making use of this fractional calculus, we introduce the generalized definition of Caputo derivatives. The new definition is consistent with various definitions in literature while reveals the underlying group structure. Since the new definition is valid for a class of locally integrable functions that can blow up in finite time, it provides a framework for solutions to fractional ODEs and fractional PDEs with very weak conditions. The underlying group property makes many properties of Caputo derivatives natural. In particular, it allows us to de-convolve the fractional differential equations to integral equations with completely monotone kernels, which then enables us to prove the general Gronwall inequality (or comparison principle) with the most general conditions. This then provides the essential tools for {\it a priori} energy estimates of fractional PDEs. Some other fundamental results for fractional ODEs are also established within this frame under very weak conditions.

研究の動機と目的

• 0と1の間の微分階数に対するCaputo微分を、有限時刻で爆発する可能性があるより広いクラスの局所可積分関数へ拡張すること。
• 畳み込み群の分布に基づく分数階微積分フレームワークを確立し、一貫性のある群構造を保証すること。
• 既存のCaputo微分の定義を統一的かつ一般化し、群性といった基本的性質を保持すること。
• 分数階微分方程式を完全単調核を持つ積分方程式に変換（脱畳み込み）できること。
• 最小限の正則性条件のもとで、分数階PDEにおける事前エネルギー推定と比較原理の基礎を提供すること。

提案手法

• 畳み込み群構造を用いて分布に対する分数階微積分を定義し、群性が保たれることを保証する。
• この畳み込み群を用いて一般化されたCaputo微分を構成し、t = 0 における特異性を持つ関数へ古典的定義を拡張する。
• t > 0 においてRiemann-Liouville定義と一致させつつ、弱い可積分性をもつ因果的関数を扱えるようにする。
• 群構造を用いて分数階微分方程式を完全単調核を持つ積分方程式に脱畳み込みする。
• 核構造を活用して、最も一般的な条件下で一般化されたGronwallの不等式を証明する。
• 関数の正則性に関する最小限の仮定のもとで、このフレームワークを用いて分数階ODEの基本的結果を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0と1の間の微分階数に対するCaputo微分を、有限時刻で爆発する可能性がある局所可積分関数へ一貫的に拡張する方法は何か？
• RQ2 畳み込み群が、分数階微分の群性を保つ分数階微積分の構築において果たす役割は何か？
• RQ3 提案されたフレームワークは、分数階微分方程式に対して一般化されたGronwallの不等式を導出する仕組みとしてどのように機能するか？
• RQ4 群構造は、弱い正則性条件のもとで分数階ODEおよびPDEの解析をどのように簡素化するか？
• RQ5 新しい定義は、既存のCaputo微分の定義を統一しつつ、エネルギー推定に向けたより強力な解析的ツールを提供できるか？

主な発見

• 一般化されたCaputo微分は、有限時刻での爆発を示す関数を含む広いクラスの局所可積分関数に対して定義可能であり、古典的枠組みを拡張する。
• 畳み込み群に基づく分数階微積分フレームワークは、群性を保証するため、分数階微分方程式の解析を簡素化する。
• このアプローチにより、分数階微分方程式を完全単調核を持つ積分方程式に脱畳み込みでき、一般化された比較原理が可能になる。
• 最も一般的な条件下で一般化されたGronwallの不等式が確立され、分数階PDEにおける事前エネルギー推定に不可欠なツールが得られる。
• 最小限の正則性仮定のもとで、分数階ODEの基本的結果がフレームワークによって支えられ、分数階微積分の適用範囲が拡張される。