[論文レビュー] On corners scattering stably and stable shape determination by a single far-field pattern

Emilia Blåsten, Hongyu Liu|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 43被引用数 48

ひとこと要約

本稿は、1つの遠方パターンを用いた逆音響散乱において、鋭い定量的安定性推定を確立する。可塑的媒体散乱体の多角形または多面体形状の支持集合が対数型安定性で安定して回復可能であることを証明し、散乱体境界の角が遠方散乱エネルギーに正の下界を生じさせることを示し、角を含む等方的材料による安定な見えないクローキング（遮蔽）が不可能であることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we establish two sharp quantitative results for the direct and inverse time-harmonic acoustic wave scattering. The first one is concerned with the recovery of the support of an inhomogeneous medium, independent of its contents, by a single far-field measurement. For this challenging inverse scattering problem, we establish a sharp stability estimate of logarithmic type when the medium support is a polyhedral domain in $\mathbb{R}^n$, $n=2,3$. The second one is concerned with the stability for corner scattering. More precisely if an inhomogeneous scatterer, whose support has a corner, is probed by an incident plane-wave, we show that the energy of the scattered far-field possesses a positive lower bound depending only on the geometry of the corner and bounds on the refractive index of the medium there. This implies the impossibility of approximate invisibility cloaking by a device containing a corner and made of isotropic material. Our results sharply quantify the qualitative corner scattering results in the literature, and the corresponding proofs involve much more subtle analysis and technical arguments. As a significant byproduct of this study, we establish a quantitative Rellich's theorem that continues smallness of the wave field from the far-field up to the interior of the inhomogeneity. The result is of significant mathematical interest for its own sake and is surprisingly not yet known in the literature.

研究の動機と目的

• 1つの遠方測定からの可塑的不均一媒体の支持集合を回復するための鋭い安定性推定を確立すること。
• 角を持つ散乱体における定性的な角散乱現象を定量的に特定し、遠方エネルギーに正の下界を証明すること。
• 角を含む等方的材料による安定な見えないクローキング（遮蔽）が不可能であることを示すこと。
• 遠方から散乱体内部への小さな値の伝播を示す、新しい定量的Rellich型定理の構築。
• 角散乱の安定性とその逆散乱およびクローキングへの影響に関する、厳密な数学的基盤の提供。

提案手法

• 時間調和音響散乱をモデル化するため、 compactly supported なポテンシャルを有するHelmholtz方程式を用いる。
• Sommerfeldの放射条件を適用し、単位球面上の散乱振幅として遠方パターンを定義する。
• 遠方から不均一体内部への小さな値の伝播を可能にする、革新的な定量的Rellich型定理を用いる。
• 幾何的解析と凸性の議論を用いて、2つの散乱体の支持集合間のHausdorff距離を、遠方パターンの差異に基づいて評価する。
• 角の幾何構造と屈折率の上限に基づいて、角を持つ散乱体の遠方エネルギーに正の下界を導出する。
• 微局所解析および定量的一意的連続性の技術を用いて、対数型安定性推定を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可塑的音響散乱体の形状（支持集合）は、1つの遠方パターンから安定に回復可能か？
• RQ2 1つの遠方測定下での逆形状決定問題における定量的安定性推定は何か？
• RQ3 散乱体境界に角が存在する場合、遠方応答が安定かつ非ゼロのまま保たれるか？
• RQ4 角を含む等方的材料は、近似的に見えないクローキング（遮蔽）を実現可能か？
• RQ5 散乱遠方エネルギーに正の下界を保証する最小の幾何的条件は何か？

主な発見

• 2次元の多角形または3次元の直方体形状の可塑的散乱体の支持集合が、1つの遠方パターンから鋭い対数型安定性推定で回復可能であることが確立された。
• 安定性推定は二重対数型であり、支持集合間のHausdorff距離が遠方パターン誤差の二重対数関数で有界であることを意味する。
• 散乱体の支持集合に角がある場合、遠方散乱パターンのエネルギーに正の下界が証明され、角の幾何構造と屈折率の上限にのみ依存する。
• この下界は、角を持つ等方的散乱体が安定にクローキングできないことを示し、このような材料による近似的な見えないクローキング（遮蔽）が不可能であることを排除する。
• 遠方での波動場の小ささが不均一体内部でも小さくなることを示す、新しい定量的Rellich型定理が確立された。
• 本研究は、文献において初めて角散乱現象の定量的バージョンを提供し、角の角度に鋭い幾何的依存性を持つ。