[論文レビュー] On covariant phase space methods

B. Juliá, Sebastián Silva|ArXiv.org|May 8, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、ラグランジアンではなく運動方程式から直接構成することで、ゲージ依存性のない曖昧さのない共変なシンプレクティック形式を、場の理論に対して導入する。標準的なノネルに基づくアプローチに内在するゲージ依存性の曇りを排除する。この方法は、補助場を用いた一次形式を用い、共変なハミルトニアンおよびシンプレクティック構造を定義する。新しい規定に従うと、共変シンプレクティック法およびレッジ＝タイベルボイム法の両方で一貫した保存量が得られる。

ABSTRACT

It is well known that the Lagrangian and the Hamiltonian formalisms can be combined and lead to "covariant symplectic" methods. For that purpose a "pre-symplectic form" has been constructed from the Lagrangian using the so-called Noether form. However, analogously to the standard Noether currents, this symplectic form is only determined up to total divergences which are however essential ingredients in gauge theories. We propose a new definition of the symplectic form which is covariant and free of ambiguities in a general first order formulation. Indeed, our construction depends on the equations of motion but not on the Lagrangian. We then define a generalized Hamiltonian which generates the equations of motions in a covariant way. Applications to Yang-Mills, general relativity, Chern-Simons and supergravity theories are given. We also consider nice sets of possible boundary conditions that imply the closure and conservation of the total symplectic form. We finally revisit the construction of conserved charges associated with gauge symmetries, from both the "covariant symplectic" and the "covariantized Regge-Teitelboim" points of view. We find that both constructions coincide when the ambiguity in the Noetherian pre-symplectic form is fixed using our new prescription. We also present a condition of integrability of the equations that lead to these quantities.

研究の動機と目的

• ノネルに基づくプリシンプレクティック形式における長年の曇りを解消すること。これはゲージ理論において、全微分の不定性の範囲でのみ定義される。
• ラグランジアンに依存せず、運動方程式から直接構築される共変な位相空間形式を発展させること。
• 時空の分解に依存しない共変にダイナミクスを生成する一般化されたハミルトニアン密度を定義すること。
• 適切な境界条件のもとでシンプレクティック形式の閉包性と保存性を保証すること。
• 新しい規定のもとで、共変シンプレクティック法とレッジ＝タイベルボイム法による保存量の等価性を確立すること。

提案手法

• 任意の場の理論を一次形式に再定式化するための補助場を導入し、運動方程式が高々1階の時空微分を含むようにする。
• ラグランジアンやその変分に依存しないが、運動方程式にのみ依存する明示的に共変なシンプレクティック密度を定義する。
• 共変なポisson括弧に類似した構造を通じて運動方程式を生成する一般化されたハミルトニアン密度を構築する。これは $ \partial_t q^i = \{H, q^i\} $ に類似している。
• 無限次元の場配置空間における変分とシンプレクティック構造を扱うために、$ \delta $-微分を用いたコンactな微分形式表記を用いる。
• ヤン・ミルズ理論、一般相対性理論、チャーン・サイモンズ理論、11次元スーパーグラビティにこの方法を適用し、標準的なノネル法と結果を比較する。
• 境界成分におけるシンプレクティック形式の閉包性を分析することで、保存量関数の可積分性条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノネル電流構成における全微分に起因する曇りが生じない共変シンプレクティック構造は、どのように定義できるか？
• RQ2 ラグランジアンに依存せず、運動方程式から直接シンプレクティック形式を構築することは可能か。そのとき共変性は保たれるか？
• RQ3 新しいシンプレクティック形式は、ゲージ対称性に対して一貫性があり曇りのない保存量をもたらすか？
• RQ4 どのような境界条件下でシンプレクティック形式が閉じて保存されるか？
• RQ5 ノネル形式における曇りが解消されたとき、新しい方法は保存量に関してレッジ＝タイベルボイム法と等価か？

主な発見

• 提案されたシンプレクティック形式は、ラグランジアンやその変分に依存しないため、曇りがない。
• 曇りを新しい規定で解消した場合、標準的なノネルプリシンプレクティック形式を正確に再現でき、従来の不整合を解消する。
• 一般化されたハミルトニアン密度は共変にダイナミクスを生成し、時空共変な枠組みにおけるハミルトニアン時間発展方程式の直接的な類似物を提供する。
• ヤン・ミルズ理論、重力、チャーン・サイモンズ理論、スーパーグラビティにおいて、新しい方法は曇りが解消されたとき既知の結果と一貫したシンプレクティック構造を与える。
• 保存量の可積分性条件は、シンプレクティック形式が境界で閉じているとき満たされ、その条件は $ \hat{\omega}^\mu_{ij} $ を含むトポロジカル制約に簡略化される。
• 新しいシンプレクティック形式を用いるとき、共変シンプレクティック法とレッジ＝タイベルボイム法による保存量は等価であることが示され、長年の未解決問題が解決された。