[論文レビュー] On Covering a Graph Optimally with Induced Subgraphs

Shripad Thite|ArXiv.org|Apr 6, 2006

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、k 個の誘導部分グラフでグラフを最適に被覆する問題に注目し、任意の部分グラフのサイズの最大値を最小化することを目的としている。この問題が NP 完全であることを証明し、特定のグラフクラスに対して近似アルゴリズムを提供している。頂点順序付けと近傍サイズに基づき (c+1)-近似を得ており、森に対しては 2-近似、外部平面グラフに対しては 3-近似、平面グラフに対しては 6-近似が達成されている。

ABSTRACT

We consider the problem of covering a graph with a given number of induced subgraphs so that the maximum number of vertices in each subgraph is minimized. We prove NP-completeness of the problem, prove lower bounds, and give approximation algorithms for certain graph classes.

研究の動機と目的

• k 個の誘導部分グラフでグラフを被覆する問題に取り組み、任意の部分グラフ内の頂点数の最大値を最小化すること。
• 3-Partition 問題（強く NP 完全）への帰着により、森に対してもこの問題が NP 完全であることを証明すること。
• 近傍サイズが有界であるか、分離定理を持つグラフクラスに対して下界を確立し、近似アルゴリズムを開発すること。
• 各部分グラフの最大サイズが固定された条件下で、誘導部分グラフの数を最小化する双対問題を検討すること。
• ハイパーグラフへの枠組みの一般化を試み、各ハイパーエッジが単一の部分グラフ内に完全に含まれることを要件とする。

提案手法

• 3-Partition 問題をグラフ被覆問題に帰着させるために、3-Partition の各整数に対応する長さの disjoint パスからなる森を構築する。
• 頂点を順序付けし、各頂点を自身のインデックスより高いインデックスを持つ近隣頂点を含むように、順に部分グラフに割り当てる貪欲アルゴリズムを提案する。
• 各誘導部分グラフのサイズに対する上界として、(c+1)⌈n/k⌉ を導出する。ここで c は順序付けにおける高いインデックスを持つ近隣頂点の最大数である。
• 森（c=1）、外部平面グラフ（c=2）、平面グラフ（c=5）の各クラスにこのアルゴリズムを適用し、それぞれ 2-近似、3-近似、6-近似を達成する。
• 部分線形分離子を持つグラフに対しては、再帰的分離子ベースの分解を用い、グラフを A、B、C（分離子）に分割し、A∪C および B∪C における部分問題を解く。
• ハイパーグラフに問題を一般化し、各ハイパーエッジが少なくとも一つの誘導部分グラフに完全に含まれることを要件とし、同じハイパーエッジを複数の部分グラフが被覆することを許容する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k 個の誘導部分グラフでグラフを被覆し、最大部分グラフサイズを最小化する問題は NP 完全か？
• RQ2 頂点順序付けと近傍制約に基づき、(c+1)-近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ3 森、外部平面、平面グラフなどの特定のグラフクラスに対して達成可能な近似比は何か？
• RQ4 部分線形分離子を持つグラフクラスに対して、再帰的分離子ベースのアプローチはどの程度の性能を示すか？
• RQ5 固定された最大サイズを持つ誘導部分グラフの数を最小化する双対問題の複雑さと構造は何か？

主な発見

• 問題 <span style="font-variant:small-caps">Cover(G,k)</span> は、強く NP 完全な 3-Partition 問題への多項式時間帰着により NP 完全であることが証明された。
• c が頂点順序付けにおける高いインデックスを持つ近隣頂点の最大数であるとき、(c+1)-近似アルゴリズムが開発され、森に対しては 2-近似が達成された。
• 外部平面グラフに対しては 3-近似、平面グラフに対しては 6-近似が達成され、これは近傍サイズの有界性に基づく。
• 再帰的分離子ベースのアルゴリズムは、平面グラフや外部平面グラフなどの部分線形分離子を持つグラフクラスに対して近似的に最適な解を提供する。
• 双対問題（固定最大サイズ下での誘導部分グラフ数の最小化）も、同じ帰着により NP 完全であることが証明された。
• この枠組みはハイパーグラフへ一般化可能であり、各ハイパーエッジが少なくとも一つの誘導部分グラフに完全に含まれることを要件とし、必要に応じて同じハイパーエッジを複数の部分グラフが被覆することを許容する。