[論文レビュー] On critical cardinalities related to $Q$-sets

Тарас Банах, Michał Machura+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$ℝ$ 内の非$Q$-集合の最小サイズとして定義される基数$τ_0$を調査し、その小基数の非可算基数階層における位置を確立する。強制法を用いて、$π < ρ’ < ρ_0$ の一貫性を証明し、任意の$ρ_0$-柔軟なcccc $σ$-整域$ℜ$に対して$ρ_0 \leq ×’(ℜ)$が成り立つことを示し、集合論的位相幾何学における$Q$-集合の境界についての理解を深める。

ABSTRACT

In this note we collect some known information and prove new results about the small uncountable cardinal $\mathfrak q_0$. The cardinal $\mathfrak q_0$ is defined as the smallest cardinality $|A|$ of a subset $A\subset \mathbb R$ which is not a $Q$-set (a subspace $A\subset\mathbb R$ is called a $Q$-set if each subset $B\subset A$ is of type $F_σ$ in $A$). We present a simple proof of a folklore fact that $\mathfrak p\le\mathfrak q_0\le\min\{\mathfrak b,\mathrm{non}(\mathcal N),\log(\mathfrak c^+)\}$, and also establish the consistency of a number of strict inequalities between the cardinal $\mathfrak q_0$ and other standard small uncountable cardinals. This is done by combining some known forcing results. A new result of the paper is the consistency of $\mathfrak{p} < \mathfrak{lr} < \mathfrak{q}_0$, where $\mathfrak{lr}$ denotes the linear refinement number. Another new result is the upper bound $\mathfrak q_0\le\mathrm{non}(\mathcal I)$ holding for any $\mathfrak q_0$-flexible cccc $σ$-ideal $\mathcal I$ on $\mathbb R$.

研究の動機と目的

• キーとなる参考文献の最終版に存在しない、基数$ρ_0$（$ℝ$ 内の非$Q$-集合の最小サイズ）に関する既知の結果を集約・体系化すること。
• $π$、$β$、$×(ℜ)$、$×(ρ^+)$ との相対的位置関係を含め、小基数の非可算基数階層内での$ρ_0$ の位置を明確化すること。
• 強制法の構成を用いて、特に$ρ’$ を含む$ρ_0$ と他の標準的な小基数との間の厳密な不等式の一致を確立すること。
• $ρ_0$ を二分木$2^{<\omega}$における分岐の弱く分離可能な族の観点から特徴づけることにより、組合せ的集合論と関連付けること。

提案手法

• 本稿では、二分木$2^{<\omega}$における分岐のほとんど互いに素な族の観点から、$ρ_0$ の新しい特徴づけを導出する。ここで$ρ_0$ は、その補集合から弱く分離できない部分族を含むような、そのような族の最小サイズに等しい。
• 強制法の反復を用いて、$π < ρ’ < ρ_0$ となるモデルを構成する。ヘックラ強制法の代わりに、強力な有限交差性を保ち、擬似共通部分集合を加えないようにするドウの強制法を用いる。
• 証明は、ドウの結果（彼の強制法は、強力な有限交差性を持つ族に擬似共通部分集合を加えない）を活用し、反復において$ρ_0 \geq \lambda$ が成り立つことを保証する。
• ブレンドルの$ρπ$ と $ρα$ に関する研究結果を含む既知の強制法の結果を応用し、$ρ_0$ を他の基数不変量と関連付ける。
• $ρ(2,=)$ が成り立つモデルを構成し、これにより$ρ = \omega_1$ が導かれる。このことは、このモデルに非可算$Q$-集合が存在しないことを保証し、$ρ_0 > \omega_1$ の一貫性を支持する。
• 任意の$ρ_0$-柔軟なcccc $σ$-整域$ℜ$ に対して、$ρ_0 \leq ×’(ℜ)$ が成り立つことを確立し、以前の境界を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不等式$π < ρ’ < ρ_0$ はZFCと一貫しているか？
• RQ2 $ρ_0$ は$×(ℜ)$、$ρ$、$ρ$ よりも厳密に大きい可能性があるか？
• RQ3 $ρ_0$-柔軟なcccc $σ$-整域$ℜ$ に対して、$ρ_0$ と $×’(ℜ)$ の関係は何か？
• RQ4 ミラーの示唆するところに従い、$ρ_0 > ×(ℜ)$ は一貫しているか？
• RQ5 ドウのモデルまたはその変種において、$ρ$ と $ρ$ の値は何か？

主な発見

• $ρ_0$ は $π \leq ρ_0 \leq \min\{\u03b2, ×(ℜ), ×(ρ^+)\}$ を満たす。これは、$ρ_0$ が小基数の非可算基数階層に位置づけられていることを確認する。
• $π < ρ’ < ρ_0$ の一貫性は、ヘックラ強制法の代わりにドウの強制法を用いた強制法の反復により確立された。この方法では、強力な有限交差性が保たれる。
• 任意の$ρ_0$-柔軟なcccc $σ$-整域$ℜ$ に対して、$ρ_0 \leq ×’(ℜ)$ が成り立つ。これは、$ρ_0$ の新たな上界を与える。
• 構成されたモデルは$ρ(2,=)$ を満たし、これにより$ρ = \omega_1$ が導かれる。ゆえに、このモデルには非可算$Q$-集合は存在しない。
• 本稿は、ブラスの研究で示されたように、$ρ_0 = β < ρ$ が一貫していることを確認し、$ρ_0 > ×(ℜ)$ が一貫しているか否かという未解決の問題を提起する。
• 本稿は、二分木における分岐の弱く分離可能な族の観点から$ρ_0$ を特徴づけるものであり、これにより組合せ的集合論および$ρπ$、$ρα$ と関連づけられる。