[論文レビュー] On Critical Points of Random Polynomials and Spectrum of Certain Products of Random Matrices

Tulasi Ram Reddy Annapareddy|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、同じ極限測度を持つ2つの決定的列からランダムにゼロを抽出する場合、そのランダム多項式のゼロと臨界点の経験的測度が同じ極限に収束することを確立している。さらに、±1の指数を持つ独立同分布のギニブル行列の積は、確定的点過程を形成する固有値分布を有することを示しており、符号が反対ですべて正の指数を持つk=2の場合の既知の結果を一般化している。

ABSTRACT

In the first part of this thesis, we study critical points of random polynomials. We choose two deterministic sequences of complex numbers, whose empirical measures converge to the same probability measure in complex plane. We make a sequence of polynomials whose zeros are chosen from either of sequences at random. We show that the limiting empirical measure of zeros and critical points agree for these polynomials. As a consequence we show that when we randomly perturb the zeros of a deterministic sequence of polynomials, the limiting empirical measures of zeros and critical points agree. This result can be interpreted as an extension of earlier results where randomness is reduced. Pemantle and Rivin initiated the study of critical points of random polynomials. Kabluchko proved the result considering the zeros to be i.i.d. random variables. In the second part we deal with the spectrum of products of Ginibre matrices. Exact eigenvalue density is known for a very few matrix ensembles. For the known ones they often lead to determinantal point process. Let X1, X2,..., Xk be i.i.d Ginibre matrices of size n ×n whose entries are standard complex Gaussian random variables. We derive eigenvalue density for matrices of the form X1 e1 X2 e2 ... Xk ek , where ei = ±1 for i =1,2,..., k. We show that the eigenvalues form a determinantal point process. The case where k =2, e1 +e2 =0 was derived earlier by Krishnapur. In the case where ei =1 for i =1,2,...,n was derived by Akemann and Burda. These two known cases can be obtained as special cases of our result.

研究の動機と目的

• 2つの決定的列から同じ極限測度を持つようにゼロをランダムに抽出して形成されるランダム多項式の臨界点の極限経験分布を調査すること。
• i.i.d. ゼロという強いランダム性の仮定を、経験的測度が収束する決定的列に緩和することで、既存のランダム多項式に関する結果を拡張すること。
• ±1の指数を持つi.i.d. ギニブル行列の積の正確な固有値密度を導出すること。
• このような行列積の固有値が確定的点過程を形成することを示すこと。

提案手法

• 複素平面上で経験的測度が同じ確率測度に収束する2つの決定的列から、独立にゼロを抽出してランダム多項式を構築する。
• 確率論的および複素解析的技法を用いて臨界点の極限分布を分析し、ゼロと同じ測度に収束することを示す。
• 行列積を X₁^{e₁}X₂^{e₂}...Xₖ^{eₖ} とモデル化する。ここで Xᵢ はi.i.d. のギニブル行列であり、eᵢ = ±1 である。
• 確率的行列理論および確定的点過程理論の道具を用いて、同時固有値密度を導出する。
• 固有の核関数を特定することで、導出された固有値密度が確定的点過程に対応することを確認する。
• 既知の特殊ケース—Krishnapurのk=2でe₁+e₂=0の場合、およびAkemann-Burdaのすべてのeᵢ=1の場合—が、より一般の枠組みの極限ケースとして回復されることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの決定的列から同じ極限経験測度を持つようにゼロを抽出するランダム多項式の臨界点は、ゼロと同じ極限分布を持つのか？
• RQ2 ゼロが決定的列からランダムに摂動された場合、臨界点の極限分布はどのように変化するのか？
• RQ3 ±1の指数を持つk個のi.i.d. ギニブル行列の積の正確な固有値密度は何か？
• RQ4 このような行列積の固有値分布は確定的点過程を形成するのか？
• RQ5 k=2でe₁+e₂=0の場合と、すべてのeᵢ=1の場合の既知の結果は、より一般の枠組みの特殊ケースとして回復可能か？

主な発見

• ランダム多項式の臨界点の極限経験測度は、ゼロのそれと一致する。これは、同じ極限測度を持つ決定的列からゼロを抽出する場合にも成立する。
• 決定的列からのゼロのランダム摂動が、臨界点の極限経験測度を保存する。これは、Kabluchkoのi.i.d. モデルの結果を、より少ないランダム性の設定に拡張したものである。
• i.i.d. ギニブル行列とeᵢ = ±1 を用いた行列積 X₁^{e₁}X₂^{e₂}...Xₖ^{eₖ} の固有値密度が明示的に導出された。
• この行列積の固有値は、特定の核関数によって特徴づけられる確定的点過程を形成する。
• この結果は、Krishnapurのケース（k=2, e₁+e₂=0）およびAkemann-Burdaのケース（すべてのeᵢ=1）を一般化しており、両者とも特殊ケースとして回復される。
• 導出された固有値密度は、確率的行列理論における非自明な積アンサンブルの新しい正確解を提供する。