[論文レビュー] On crystal ground state in the Schrödinger-Poisson model

Alexander Komech|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、1次元、2次元、3次元のスメアーディオン格子に対するシュレーディンガー＝ポアソン模型において、単位格子あたりのエネルギーを最小化することで、空間周期的基底状態の存在を確立する。非有界なポテンシャルの存在を考慮し、低次元における赤外発散を修正した関数解析的手法を用いて、結合されたシュレーディンガー方程式およびポアソン方程式を満たす定常的かつ$̲$-周期的解の存在を厳密に証明する。

ABSTRACT

A space-periodic ground state is shown to exist for lattices of smeared ions in $\R^3$ coupled to the Schrödinger and scalar fields. The elementary cell is necessarily neutral. The 1D, 2D and 3D lattices in $\R^3$ are considered, and a ground state is constructed by minimizing the energy per cell. The case of a 3D lattice is rather standard, because the elementary cell is compact, and the spectrum of the Laplacian is discrete. In the cases of 1D and 2D lattices, the energy functional is differentiable only on a dense set of variations, due to the presence of the continuous spectrum of the Laplacian that causes the infrared divergence of the Coulomb bond. Respectively, the construction of electrostatic potential and the derivation of the Schrödinger equation for the minimizer in these cases require an extra argument. The space-periodic ground states for 1D and 2D lattices give the model of the nanostructures similar to the carbon nanotubes and graphene respectively.

研究の動機と目的

• 1次元、2次元、3次元のスメアーディオン格子に対して、$\mathbb{R}^3$におけるシュレーディンガー＝ポアソン模型における空間周期的基底状態の存在を確立すること。
• ラプラシアンの連続スペクトルが原因で1次元および2次元格子におけるクーロン相互作用に生じる赤外発散の問題に対処すること。
• 単位格子あたりのエネルギーを最小化することで基底状態を構成し、単位格子の電気的中性を保証すること。
• 1次元および2次元の場合における電子波動関数および静電ポテンシャルの厳密な存在性と正則性に関する結果を提供すること。
• カーボンナノチューブ（1次元）やグラフェン（2次元）などのナノ構造を、結合されたシュレーディンガー＝ポアソン系の周期的解を用いてモデル化すること。

提案手法

• $d$次元のイオン格子（$d=1,2,3$）を$\mathbb{R}^3$で定式化し、基本格子$T_d$上で周期的境界条件を適用してシュレーディンガー＝ポアソン系を定式化する。
• 単位格子あたりのエネルギー関数を定義し、1次元の場合には$M_1$における正規化された波動関数の集合上でそれを最小化する。
• 補題3.13の修正版を用いて、解を$\phi_1 + \phi_2$に分割することで静電ポテンシャル$\phi^0$を構成し、$\phi_2 \in H^2$かつ$\phi_1$を滑らかなベクトル場の線積分で得る。
• ソボレフ埋め込みおよび$L^2$に基づく推定を適用して$\phi^0$の成長を制御し、1次元において$|\phi^0(\mathbf{x})| \leq C(1 + |x_2| + |x_3|)^{1/2}$の評価を証明する。
• 条件III：$D = \{\xi \in \mathbb{R}^2 : |\xi| \leq 1\}$に対して$\frac{\hat{\mu}^{\rm per}_1(0,\xi) + eZ_1}{|\xi|} \in L^2(D)$を課すことにより、原点近傍での可積分性を保証する。
• ソボレフ埋め込みおよびブートストラップ法を用いて最小化子$\psi^0$の正則性を確立し、$\psi^0 \in H^2_{\rm loc}(T_1)$および$C^\infty$イオン密度のもとでの滑らかさを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元および2次元のスメアーディオン格子に対して、赤外発散が存在するにもかかわらず、シュレーディンガー＝ポアソン模型における空間周期的基底状態は存在するか？
• RQ2 ラプラシアンが連続スペクトルを持つ1次元および2次元格子において、エネルギー最小化アプローチを拡張することは可能か？
• RQ3 イオン電荷密度にどのような条件を課すと、1次元および2次元における静電ポテンシャルの存在性と有界性が保証されるか？
• RQ4 1次元において静電ポテンシャルは距離とともにどのように増大するか？ また、導出された評価$|\phi^0(\mathbf{x})| \leq C(1 + |x_2| + |x_3|)^{1/2}$は最良のものか？
• RQ5 最小化子$\psi^0$が分布的意味で定常シュレーディンガー＝ポアソン方程式を満たし、十分な正則性を持つことが示せるか？

主な発見

• 1次元、2次元、3次元のスメアーディオン格子に対して、シュレーディンガー＝ポアソン模型における基底状態が、単位格子あたりのエネルギー最小化によって構成され、存在することが保証される。
• 有限エネルギー解の存在を保証するためには、基本格子が中性でなければならない。すなわち$\hat{\mu}^{\rm per}_1(0) + eZ_1 = 0$を満たす必要がある。
• 1次元の場合、静電ポテンシャルは$|\phi^0(\mathbf{x})| \leq C(1 + |x_2| + |x_3|)^{1/2}$を満たし、これは対数的成長より小さい成長の境界である。
• 最小化子$\psi^0$は$H^2_{\rm loc}(T_1)$に属し、実数値かつ有界なポテンシャル$\phi^0$を伴う定常シュレーディンガー方程式を満たす。
• 条件$\mu_1^{\rm per} \in C^\infty(T_1)$が満たされれば、解$\psi^0$および$\phi^0$は滑らかな関数である。
• 低周波数領域におけるイオン密度のフーリエ変換の振る舞いに関する条件を課ることで、1次元および2次元における赤外発散を解消し、クーロン相互作用の可積分性を保証する。