[論文レビュー] On Curling Numbers of Integer Sequences

Benjamin Chaffin, John P. Linderman+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、2と3のみからなる二進列の特殊ケースにおいて、ねじれ数の予想を調査し、1に到達するまでの最大テイル長Ω(n)を特定するための計算フレームワークを提案する。c(n,k)とt(n,i)という組合せ関数を導入し、n ≤ 80の範囲で予想的な結果を提示するとともに、c(n,1)に関する構造的定理と再帰関係を提示する。

ABSTRACT

Given a finite nonempty sequence S of integers, write it as XY^k, where Y^k is a power of greatest exponent that is a suffix of S: this k is the curling number of S. The Curling Number Conjecture is that if one starts with any initial sequence S, and extends it by repeatedly appending the curling number of the current sequence, the sequence will eventually reach 1. The conjecture remains open. In this paper we discuss the special case when S consists just of 2's and 3's. Even this case remains open, but we determine how far a sequence of n 2's and 3's can extend before reaching a 1, conjecturally for n <= 80. We investigate several related combinatorial problems, such as finding c(n,k), the number of binary sequences of length n and curling number k, and t(n,i), the number of sequences of length n which extend for i steps before reaching a 1. A number of interesting combinatorial problems remain unsolved.

研究の動機と目的

• 2と3のみからなる列に限定されたねじれ数の予想を調査し、この場合、予想は未解決のままである。
• n ≤ 80の範囲で、1に到達するまでの最大テイル長Ω(n) — 2と3からなる列のうち、1に到達するまでの最長の長さ — を特定する。
• c(n,k)を用いて、ねじれ数kを持つ長さnの二進列の数を列挙し、t(n,i)を用いて、1に到達するまでちょうどiステップ続くn長列の数を列挙する。
• 高めのねじれ数を持つ列の構造を分析するための組合せ的ツール（原始的および頑健な列など）を開発する。
• テイル長を最大化する「良い」初期列のパターンや性質を特定し、そのような列を構築するためのアルゴリズムを提案する。

提案手法

• 列Sのねじれ数cn(S)を、S = XY^kを満たす最大の指数k（Y^kが接尾語である場合）として定義する。
• 1に到達するまでのテイル長を最大化する2と3からなる列を探索するため、再帰的構成とバックトラッキングアルゴリズムを用いる。
• 補助関数として、原始的列を表すp(n,k)と、頑健な原始的列を表すp′(n,k)を導入し、c(n,k)の分解に用いる。
• 定理8および定理20を用いて、p(n,k)およびp′(n,k)との組合せ的分解により、c(n,k)の正確な式を導出する。
• Fine-Wilfの定理と構造的補題を用いて、ねじれ数1の列の性質を証明し、特にc(n,1)に対して適用する。
• 差分関数d(n,k) = 2c(n−1,k) − c(n,k)を用い、c(n,k)表に隠れたパターンを明らかにし、列挙を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n個の2と3からなる列が1に到達するまでの最大テイル長Ω(n)は何か？ また、そのような最適な列はどのような構造的性質を持つのか？
• RQ2 ねじれ数1を持つ長さnの二進列の数c(n,1)について、閉形式または再帰的式が導けるか？
• RQ3 1に到達するまでちょうどiステップ続くn長列の数t(n,i)について、再帰関係または母関数が存在するか？
• RQ4 t(n,i)の観察された分布をよりよく説明するための確率的モデルを構築できるか？
• RQ5 「二重に腐った」列 — すなわち、長期間にわたり高いねじれ数状態を維持する列 — は存在するか？ そのような列を可能にする構造的条件は何か？

主な発見

• Ω(n)はすべてのn ≤ 48について正確に計算され、n ≤ 80まで予想的に拡張された。その結果、最大テイル長はnに対して非線形に増加することが判明した。
• c(n,1) — ねじれ数1を持つ長さnの列の数 — はn ≤ 200について再帰関係を用いて計算されたが、閉形式の式はまだ知られていない。
• 定理8および定理20により、原始的および頑健な原始的列を用いてc(n,k)の正確な表現が得られ、n ≤ 104についてねじれ数の完全な列挙が可能になった。
• 差分関数d(n,k) = 2c(n−1,k) − c(n,k)は、c(n,k)表に隠れた規則性を明らかにし、より深い組合せ的構造の存在を示唆している。
• A217209（t(n,i)）に属する列はn ≤ 48について完全に列挙され、テイル長の分布は一様ではなく、多次元のピークを示した。
• 構造的定理（例：定理13–15）により、ねじれ数1の列について、必要な十分条件がsuffixおよびprefixの重なりの観点から確立された。