[論文レビュー] On Curves and Surfaces of Constant Width

Howard L. Resnikoff|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、フーリエ級数を用いて等幅曲線および等幅曲面を分析し、新たな幾何的性質および境界を導出する。任意の卵形の周図はπ倍の平均幅に等しく、バービエの定理が非円形の卵形へ一般化され、曲率の境界は調和構造に基づいて確立される。さらに、リュレオ・曲がった三角形の格子密度は約0.92288に達し、円の密度（約0.9060）を上回る。著者らは、これがすべての等幅曲線における最大値であると仮説を立てている。

ABSTRACT

This paper focuses on curves and surfaces of constant width, with some additional results about general ovals. We emphasize the use of Fourier series to derive properties, some of which are known. Amongst other results, we show that the perimeter of an oval is $π$ times its average width, and provide a bound for the radius of curvature of an oval that depends on the structure of the harmonics in its Fourier series. We prove that the density of a certain packing of Reuleaux curved triangles in the plane is $$\frac{2 (π- \sqrt{3})}{\sqrt{15} + \sqrt{7} - 2 \sqrt{3}} \simeq 0.92288$$ which exceeds the maximum density for circles ($\simeq 0.9060$), and conjecture this is the maximum for any curve of constant width. For surfaces of constant width we show that $ ρ_0(P)+ ρ_1(Q)=w$ where the $ρ_i$ are the principal curvatures, $P$ and $Q$ are opposite points, and $w>0$ is the width. Moreover, an ovoid is a surface of constant width $w>0$ if and only if $ρ_{ m mean}(P)+ρ_{ m mean}(Q) = w$ where $ρ_{ m mean}(P)$ is the average radius of curvature at point $P$. Finally, we provide a Fourier series-based construction that produces arbitrarily many new surfaces of constant width.

研究の動機と目的

• フーリエ級数を用いて等幅曲線および曲面の幾何的性質を導出し、古典的結果を拡張すること。
• 卵形の曲率半径に対する、そのフーリエ展開における調和成分に基づく定量的境界を確立すること。
• 特にリュレオ曲がった三角形を対象として、等幅曲線の最大格子密度を調査すること。
• バービエの定理を卵形へ一般化し、3次元の等幅曲面へ曲率関係を拡張すること。
• フーリエに基づくパrametrizationを用いて、新たな等幅曲面の構成を行うこと。

提案手法

• 曲線の支持関数p(t)のフーリエ級数表現を用い、曲率および幾何的性質を導出する。
• 卵形の曲率半径をそのフーリエ調和成分の関数として表現し、最大曲率に対する不等式境界を導出する。
• 支持関数の積分を用いて、バービエの定理を卵形へ一般化し、周図が平均幅のπ倍に等しいことを示す。
• 等幅曲面に対して、反対点PとQにおける主曲率の和が幅wに等しいことを、微分幾何学および支持関数パラメータ化から導出する。
• 球座標における体積公式を、支持関数r(t,u)を用いて変形し、tとuの関数として体積要素を表現する。
• 幾何的制約を満たすように、支持関数の特定のフーリエ級数形を選択することにより、等幅曲面を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 卵形のフーリエ調和成分とその曲率半径の関係は何か？
• RQ2 卵形の周図はπ倍の平均幅として表現可能であり、バービエの定理はどのように一般化されるか？
• RQ3 等幅曲線の最大格子密度は何か？ また、リュレオ曲がった三角形はそれを達成するか？
• RQ4 等幅曲面において、反対点における主曲率は幅とどのように関係するか？
• RQ5 支持関数のフーリエ級数を用いて、等幅曲面を体系的に生成できるか？

主な発見

• 任意の卵形の周図は、正確にその平均幅のπ倍に等しく、バービエの定理が非円形の卵形へ一般化される。
• フーリエ調和成分の振幅および周波数に依存する、卵形の曲率半径の境界が導出され、式(2.20)に表現される。
• リュレオ曲がった三角形の格子密度は、2(π−√3)/(√15+√7−2√3)≈0.92288として計算され、円の密度（約0.9060）を上回る。
• 等幅曲面における反対点PとQにおける主曲率の和は、式(4.3)に示されるように幅wに等しい。
• 楕円体は、反対点における平均曲率半径の和がwに等しいとき、かつそのときに限り、等幅曲面である。
• 本稿では、支持関数のフーリエ級数を用いて、任意に多くの新たな等幅曲面が構成され、このような曲面を体系的に生成する手法が提供される。