[論文レビュー] On cyclic codes over $\mathbb{Z}_q+u\mathbb{Z}_q$

Jian Gao, Fang‐Wei Fu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$q = p^s$、$u^2 = 0$、$ olinebreak\gcd(n,q) = 1$ を満たす環 $ olinebreak\mathbb{Z}_q + u\mathbb{Z}_q$ 上の巡回符号を調査する。このような符号が環上自由であるための必要十分条件を確立し、最小ハミング距離に関するBCH型の評価を得た。主な貢献は、$x^n - 1$ のモニック因子を用いた自由巡回符号の特徴付けであり、これにより明示的な構成とサイズの計算が可能になった。

ABSTRACT

Let $R=\mathbb{Z}_q+u\mathbb{Z}_q$, where $q=p^s$ and $u^2=0$. In this paper, some structural properties of cyclic codes over the ring $R$ are considered. A necessary and sufficient condition for cyclic codes over the ring $R$ to be free is obtained and a BCH-type bound on the minimum Hamming distance for them is also given.

研究の動機と目的

• 有限非チェーン環 $\mathbb{Z}_q + u\mathbb{Z}_q$ 上の巡回符号の構造的性質を調査すること。
• $R = \mathbb{Z}_q + u\mathbb{Z}_q$ 上の巡回符号が $R$-自由加群であるための必要十分条件を特定すること。
• $R$ 上の自由巡回符号の最小ハミング距離に関するBCH型の評価を確立すること。
• $\mathbb{Z}_4 + u\mathbb{Z}_4$ からの結果を、より広いクラスの環 $\mathbb{Z}_q + u\mathbb{Z}_q$ に一般化すること。

提案手法

• 奇数長の $R$ 上の巡回符号を、$R$ のガロア拡張環のイデアルに分解するために中国剰余定理を用いることで、数え上げを可能にする。
• ヘンゼルの補題を用いて、$\mathbb{F}_p$ 上の既約多項式を $R$ 上の基本的既約多項式へと上げることで、$x^n - 1$ が互いに素な基本的既約因子に一意に分解されることを保証する。
• $R[x]/(x^n - 1)$ におけるイデアルとしての巡回符号の生成子を特徴づけ、$f_0(x) + u f_1(x)$ の形をとる生成子を提示する。ここで $f_0(x)$ と $f_1(x)$ は $\mathbb{Z}_q$ 上の多項式である。
• $\mathscr{C} = (g(x))$ が $R$-自由であるための必要十分条件として、$g(x)$ が $R[x]$ 内で $x^n - 1$ を割り切り、かつモニックであること、さらに標準単項式基底 $\{g(x), xg(x), \dots, x^{n - \deg(g) - 1}g(x)\}$ が $R$-基底をなすことを確立する。
• $R$ から $\mathbb{F}_p$ への環準同型 $\overline{\cdot}: R \to \mathbb{F}_p$ を用いて、$\mathbb{F}_p$ 上の性質を $R$ へと持ち上げることで、有限体の技法を用いることを可能にする。
• BCH型の評価を適用する：$g(x)$ がガロア拡張環内の $\xi^b, \xi^{b+1}, \dots, \xi^{b+\delta-2}$ の連続する $\delta - 1$ 個の根を持つならば、最小ハミング距離 $d_H(\mathscr{C}) \geq \delta$ が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環 $R$ 上の $\mathbb{Z}_q + u\mathbb{Z}_q$ 上の巡回符号が $R$-自由加群であるための条件は何か？
• RQ2 多項式の除法とヘンゼルの持ち上げを用いて、$R$ 上の巡回符号の生成子を明示的に特徴づける方法は何か？
• RQ3 自由巡回符号の最小ハミング距離は何か？ また、BCH型の議論を用いてその距離を評価できるか？
• RQ4 $R$ 上の巡回符号の構造は、$\mathbb{Z}_4 + u\mathbb{Z}_4$ における既知の結果を $q = p^s$ に対して $\mathbb{Z}_q + u\mathbb{Z}_q$ にどのように一般化できるか？
• RQ5 符号の生成多項式から、$R$ 上の符号のサイズと基底を決定できるか？

主な発見

• $R = \mathbb{Z}_q + u\mathbb{Z}_q$ 上の巡回符号 $\mathscr{C}$ が $R$-自由であるための必要十分条件は、$x^n - 1$ を $R[x]$ 内で割り切るモニック多項式 $g(x)$ で生成されることである。
• $\mathscr{C} = (g(x))$ である自由巡回符号のサイズは $|\mathscr{C}| = q^{2(n - \deg(g(x)))}$ であり、集合 $\{g(x), xg(x), \dots, x^{n - \deg(g(x)) - 1}g(x)\}$ が $R$-基底をなす。
• 自由巡回符号 $\mathscr{C} = (g(x))$ の最小ハミング距離は、$g(x)$ がガロア拡張環内に連続する $\delta - 1$ 個の根 $\xi^b, \xi^{b+1}, \dots, \xi^{b+\delta-2}$ をもつならば、$d_H(\mathscr{C}) \geq \delta$ を満たす。ここで $\xi$ は基本的原始 $n$ 次単位根である。
• $R = \mathbb{Z}_8 + u\mathbb{Z}_8$ に対して、長さ15の自由巡回符号で、$g(x)$ が根 $\xi, \xi^2, \dots, \xi^6$ をもつものは最小距離がちょうど7であり、$(15, 64^5, 7)$ の符号が得られる。
• $\mathbb{Z}_4 + u\mathbb{Z}_4$ 上の巡回符号をリー重みを保つ写像 $\varphi$ で写像すると、パrameters $(14, 4^{10}, 4)$ の $\mathbb{Z}_4$-線形符号が得られ、その2進グレイ像は最適な $[28, 20, 4]$ 符号である。