[論文レビュー] On Cyclic Solutions to the Min-Max Latency Multi-Robot Patrolling Problem

Peyman Afshani, Mark de Berg+8 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Optimization and Search Problems被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、メトリック空間におけるmin-max遅延多ロボットパトロール問題の近似アルゴリズムを提示する。特に、ロボットがサイトのグループを巡回するTSPルートに割り当てられる循環的解法に注目する。最適な循環的遅延を近似することは、近似因子に(1+ε)の損失と実行時間に(O(k/ε))^kの損失を伴うTSPの近似に還元可能であり、最適な循環的解は、全体の最適解に対して2(1−1/k)-近似であることが示された。これはk=2の場合は最適であり、k≥3に対しても最適であると予想されている。

ABSTRACT

We consider the following surveillance problem: Given a set $P$ of $n$ sites in a metric space and a set of $k$ robots with the same maximum speed, compute a patrol schedule of minimum latency for the robots. Here a patrol schedule specifies for each robot an infinite sequence of sites to visit (in the given order) and the latency $L$ of a schedule is the maximum latency of any site, where the latency of a site $s$ is the supremum of the lengths of the time intervals between consecutive visits to $s$. When $k=1$ the problem is equivalent to the travelling salesman problem (TSP) and thus it is NP-hard. We have two main results. We consider cyclic solutions in which the set of sites must be partitioned into $\ell$ groups, for some~$\ell \leq k$, and each group is assigned a subset of the robots that move along the travelling salesman tour of the group at equal distance from each other. Our first main result is that approximating the optimal latency of the class of cyclic solutions can be reduced to approximating the optimal travelling salesman tour on some input, with only a $1+\varepsilon$ factor loss in the approximation factor and an $O\left(\left( k/\varepsilon ight)^k ight)$ factor loss in the runtime, for any $\varepsilon >0$. Our second main result shows that an optimal cyclic solution is a $2(1-1/k)$-approximation of the overall optimal solution. Note that for $k=2$ this implies that an optimal cyclic solution is optimal overall. The results have a number of consequences. For the Euclidean version of the problem, for instance, combining our results with known results on Euclidean TSP, yields a PTAS for approximating an optimal cyclic solution, and it yields a $(2(1-1/k)+\varepsilon)$-approximation of the optimal unrestricted solution. If the conjecture mentioned above is true, then our algorithm is actually a PTAS for the general problem in the Euclidean setting.

研究の動機と目的

• n個のサイトと等速のk台のロボットを用いた多ロボットパトロールにおいて、最大遅延を最小化する計算上の課題に対処すること。
• 特に、ロボットがサイトのクラスタにグループ化され、TSPルートを巡回するような循環的解の構造を分析すること。
• 循環的解の近似保証を提供し、それらを全体の最適解と関連付けること。
• 循環的最適性の予想が成り立つならば、ユークリッド空間における決定問題が解けることの証明。
• 同じ予想のもとで、ユークリッド空間における多ロボットパトロール問題の多項式時間近似スキーム（PTAS）の開発。

提案手法

• 最適な循環的遅延を近似する問題を、近似因子と実行時間に制御された損失を伴うサイトクラスタ上のTSP近似に還元すること。
• エッジ長がεL*/kを超えるものに基づき、サイトの最小全域木（MST）を用いてℓ≤k個のグループへの候補分割を特定すること。
• 各候補分割に対して、各グループのTSPルートをγ-近似で計算し、最大パトロールサイクル時間を最小化するようにロボットを割り当てること。
• 貪欲なロボット割り当て戦略を適用：ロボットを1台ずつ、現在のtsp(Pi)/ki比が最大のグループに割り当てることで最大遅延を最小化する。
• 候補分割の数を制限するため、MSTから重みが最も高いk(1 + k/ε)本のエッジの部分集合を選択し、(O(k/ε))^k個の候補分割が得られることを示す。
• 既知のTSP近似アルゴリズム（例：(3/2)-近似、またはユークリッド空間におけるPTAS）と組み合わせることで、全体の近似保証を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 min-max遅延多ロボットパトロール問題において、常に最適な循環的解が存在するか？
• RQ2 最適な循環的解の近似を、近似因子と実行時間に有界な損失を伴うTSP近似に還元できるか？
• RQ3 最適な循環的解は、全体の最適解に対してどの程度の近似比か？
• RQ4 循環的解がグローバルに最適であるという予想が成り立つならば、ユークリッド多ロボットパトロール問題にPTASが存在するか？
• RQ5 min-max遅延問題の決定版は、ユークリッド距離空間で解けるか？

主な発見

• 最適な循環的遅延の近似は、任意のε>0に対して、近似因子に(1+ε)の損失と実行時間に(O(k/ε))^kの損失を伴うTSP近似に還元可能である。
• 最適な循環的解は、全体の最適解に対して2(1−1/k)-近似であり、k=2の場合はこの境界がタイトで、最適である。
• k=2の場合、最適な循環的解はグローバルに最適であり、したがってk=2では問題が多項式時間で解けることが示された。
• ユークリッド設定では、既知のユークリッドTSPのPTASと組み合わせることで、(2(1−1/k)+ε)-近似が得られ、循環的最適性の予想が成り立つならばPTASが得られる。
• 考慮される候補分割の数は(O(k/ε))^kで抑えられており、kが小さく固定されたεに対しては実行可能である。
• 任意のメトリック空間では(3(1−1/k)+ε)-近似が得られ、固定されたdに対してRdでは(2(1−1/k)+ε)-近似が得られ、既知のTSP近似アルゴリズムを用いる。