[論文レビュー] On cylindrically bounded $H$-Hypersurfaces of $\mathbb{H}^{n} imes \mathbb{R}$

G. Pacelli Bessa, Silvana M. Costa|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、強い二次的減衰を示すリッチ曲率条件の下で、$ℝ^n \times \mathbb{R}$ および $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ 内の完全で円柱的有界な H-超曲面の平均曲率 |H| に対して鋭い下界を確立する。オモリ-ヤウ最大値原理とヘッセ型比較を用いて、双曲空間では |H| ≥ (n−1)/n、球面空間では半径 r < π/2 の球内に閉じ込められた超曲面に対して |H| ≥ (n−1) cot(r)/n が成り立つことを証明する。

ABSTRACT

We show that $H$-hypersurfaces of $\mathbb{H}^{n} imes \mathbb{R}$ contained in a vertical cylinder and with Ricci curvature with strong quadratic decay have mean curvature $| H| &gt; (n-1)/n$.

研究の動機と目的

• コンパクトな H-超曲面に関するBessa-Montenegroの結果を、$\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 内の完全で円柱的有界な H-超曲面へと拡張すること。
• 超曲面が縦方向の円筒に含まれる場合に、強い二次的減衰を示すリッチ曲率の下で |H| の下界を確立すること。
• |H| < (n−1)/n のとき、このような超曲面が非パラボリックであることを示すこと。
• $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ の場合に、類似の曲率および平均曲率の下界を拡張すること。

提案手法

• 強い二次的減衰を満たすリッチ曲率を有する完全なリーマン多様体に対して、オモリ-ヤウ最大値原理を適用する。
• ヘッセ型比較定理を用いて、埋め込みと距離関数の合成のラプラシアンを推定する。
• 合成関数 f = g ◦ φ のラプラシアンの下界を、基底多様体の径方向曲率と平均曲率 |H| の観点から導出する。
• 円柱的有界性により関数 f が有界であることを利用し、サブハーモニック性と最大値原理による背理法を適用する。
• リッチ曲率の強い二次的減衰と有界性の仮定の下で、|H| < (n−1)/n の場合（$\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$）または |H| < (n−1) cot(r)/n の場合（$\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$）に、矛盾を導く。
• 勾配とラプラシアンが 0 に近づく点列に対して、一般化されたオモリ-ヤウ最大値原理を適用し、平均曲率の下界が小さすぎる場合には矛盾が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな H-超曲面に対する $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 内の |H| ≥ (n−1)/n の下界は、完全で円柱的有界な H-超曲面へと拡張可能か？
• RQ2 強い二次的減衰を示すリッチ曲率の下で、$\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 内の完全で円柱的有界な H-超曲面の平均曲率はどのように変化するか？
• RQ3 強い曲率減衰の下で、$\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 内の完全で有界な最小曲面が存在しないことを示せるか？
• RQ4 |H| < (n−1)/n でリッチ曲率が二次的に減衰する場合、$\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 内の円柱的有界な H-超曲面が非パラボリックであるという性質は成り立つか？
• RQ5 半径 r < π/2 の測地的球内に閉じ込められた $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ 内の H-超曲面に対して、類似の平均曲率の下界は何か？

主な発見

• リッチ曲率が強い二次的減衰を示す完全で円柱的有界な H-超曲面について、$\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 内では $\sup_M |H| \geq (n-1)/n$ が成り立つ。
• |H| < (n-1)/n でリッチ曲率が強い二次的減衰を示す場合、このような完全で円柱的有界な H-超曲面は存在しない。
• $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 内の円柱的有界な H-超曲面で |H| < (n-1)/n である場合、平均曲率が有界であれば非パラボリックである。
• $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ 内で、超曲面の射影が半径 r < π/2 の測地的球内にある場合、強いリッチ曲率減衰の下で $\sup_M |H| \geq (n-1)\cot(r)/n$ が成り立つ。
• $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ 内で、|H| < (n-1)\cot(r)/n でリッチ曲率が強い二次的減衰を示す場合、このような完全で円柱的有界な H-超曲面は存在しない。
• $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ 内のこのような超曲面が |H| \leq (n-1)\cot(r)/n でリッチ曲率が強い二次的減衰を満たす場合、非パラボリック性が成り立つ。