[論文レビュー] On D-modules related to the b-function and Hamiltonian flow

Thomas Bitoun, Travis Schedler|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、孤立特異点をもつ準同次多項式 $f$ に対して、$\pi$-加群 $\pi f^{\lambda}/\pi f^{\lambda+1}$ の長さを計算し、それが $1 + \dim H^{n-2}(Y, \mathcal{O}_Y)$ に等しいことを示している。ここで $Y$ は解体の特異点ファイバーである。この結果は、$b$-関数の根がこれらの加群の非消滅性と関連することを示し、Hodge理論とハミルトニアンフロー不変量を用いて、準同次の場合にその予想を確認している。

ABSTRACT

Let f be a quasi-homogeneous polynomial with an isolated singularity. We compute the length of the D-modules $Df^c/Df^{c+1}$ generated by complex powers of f in terms of the Hodge filtration on the top cohomology of the Milnor fiber. For 1/f we obtain one more than the reduced genus of the singularity. We conjecture that this holds without the quasi-homogeneous assumption. We also deduce that the aforementioned quotient is nonzero when c is a root of the b-function of f (which Saito recently showed fails to hold in the inhomogeneous case). We obtain these results by comparing these D-modules to those defined by Etingof and the second author which represent invariants under Hamiltonian flow.

研究の動機と目的

• 孤立特異点をもつ準同次多項式 $f$ に対して、$\mathcal{D}$-加群 $\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1}$ の長さを計算すること。
• この長さがミルナー・ファイバーの上部コホモロジーにおけるHodgeフィルトレーションとどのように関係するかを明らかにすること。
• $\lambda$ が $b$-関数の根であるとき、$\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1} \neq 0$ が成り立つことを示し、Saito の結果を拡張すること。
• $H^1_f(R)$ 内の $1/f$ によって生成される $\mathcal{D}$-部分加群の長さが $1 + g_x$ に等しいという予想を確立すること。ここで $g_x$ は特異点の縮約 genus である。
• これらの $\mathcal{D}$-加群をEtingof-Schedlerの構成によるハミルトニアンフローの不変量と関連付けること。

提案手法

• ミルナー・ファイバーのコホモロジーにおけるHodgeフィルトレーションを用いて、$\mathcal{D}f^{-1}/R \subset H^1_f(R)$ の長さを計算する。
• Verdier双対性と局所双対性を適用し、$H^{n-2}(X^\circ, \mathbb{C})$ をミルナー・ファイバーのコホモロジーと関連付ける。
• ハミルトニアンフローの不変量としてEtingofとSchedlerが定義した加群と、$\mathcal{D}$-加群 $\mathcal{D}[s]f^s / \mathcal{D}[s]f^{s+1}$ を比較する。
• 近傍サイクル関手 $\Psi_f(\mathcal{O}_U)$ 及びそのモノドロミー作用を用いて、関連する階数加群の構造を分析する。
• ミルナー・ファイバーにおけるモノドロミーの半単純性を用いて、$\ker p \cong \delta^{\dim H^{n-2}(X^\circ, \mathbb{C})}$ が成り立つことを示す。ここで $p$ は射影写像である。
• Bernstein-Sato理論と $b$-関数の構造を用いて、$\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1} \neq 0$ が $\lambda$ が $b$-関数の根であるときかつそのときに限り成り立つことを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 孤立特異点をもつ準同次多項式 $f$ に対して、$H^1_f(R)$ 内の $1/f$ によって生成される $\mathcal{D}$-部分加群の長さは何か？
• RQ2 この長さは、$f$ のミルナー・ファイバーにおけるHodge構造とどのように関係するか？
• RQ3 準同次の場合に、$\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1} \neq 0$ が成り立つのは $\lambda$ が $b$-関数の根であるときかつそのときに限るか？
• RQ4 $\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1}$ の $\mathcal{D}$-加群は、ハミルトニアンフローの不変量として解釈可能か？
• RQ5 任意の孤立特異点 $f$ に対して、長さが $1 + g_x$ に等しいという予想は正しいか？ここで $g_x = \dim H^{n-2}(Y, \mathcal{O}_Y)$ である。

主な発見

• 孤立特異点をもつ準同次多項式 $f$ に対して、$\mathcal{D}$-加群 $\mathcal{D}f^{-1}/R \subset H^1_f(R)$ の長さは $1 + \dim H^{n-2}(Y, \mathcal{O}_Y)$ に等しい。
• この長さは、$g_0$ に等しく、$g_0$ は特異点の縮約 genus として $\dim H^{n-2}(Y, \mathcal{O}_Y)$ で定義される。ここで $Y$ は解体の特異点ファイバーである。
• 準同次の場合に、商 $\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1}$ が非ゼロであることは $\lambda$ が $b$-関数の根であるときかつそのときに限る。
• 射影写像 $p: \mathcal{D}[s]f^s / \mathcal{D}[s]f^{s+1} \to \mathcal{D}f^\lambda / \mathcal{D}f^{\lambda+1}$ における $s = -1$ での核は、$\delta^{\dim H^{n-2}(X^\circ, \mathbb{C})}$ に同型である。ここで $X^\circ$ は射影的超曲面 $Y$ の原点を除いた錐である。
• 関連する階数加群 $\bigoplus_\lambda \mathcal{D}f^\lambda / \mathcal{D}f^{\lambda+1}$ の長さは少なくとも $1 + \mu$ に等しく、正確には $1 + \mu + \dim H^{n-2}(X^\circ, \mathbb{C})$ に等しい。ここで $\mu$ はミルナー数である。
• $\mathcal{D}[s]f^s / \mathcal{D}[s]f^{s+1}$ は、その関連する階数加群が $\bigoplus_\lambda \mathcal{D}f^\lambda / \mathcal{D}f^{\lambda+1}$ に同型であるような自然なフィルトレーションをもち、$s$-作用は $s = -1$ でのファイバーで半単純である。