[論文レビュー] On DC based Methods for Phase Retrieval

Meng Huang, Ming‐Jun Lai+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2018

Advanced X-ray Imaging Techniques被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非凸な最小二乗目的関数を凸関数の差（DC）に分解し、加速型近接勾配法を用いて解く、位相再構成のための新規なDC（差の凸）最適化フレームワークを提案する。この手法は臨界点への線形収束を達成し、特に $ m \approx 2n $ 測定値の下でWirtinger Flow やガウス＝ニュートン法を上回る性能を示す。また、$ \ell_1 $ 正則化を用いることで $ m \approx n $ でのスパース信号再構成が可能となる。

ABSTRACT

In this paper, we develop a new computational approach which is based on minimizing the difference of two convex functionals (DC) to solve a broader class of phase retrieval problems. The approach splits a standard nonlinear least squares minimizing function associated with the phase retrieval problem into the difference of two convex functions and then solves a sequence of convex minimization sub-problems. For each subproblem, the Nesterov's accelerated gradient descent algorithm or the Barzilai-Borwein (BB) algorithm is used. In the setting of sparse phase retrieval, a standard $\ell_1$ norm term is added into the minimization mentioned above. The subproblem is approximated by a proximal gradient method which is solved by the shrinkage-threshold technique directly without iterations. In addition, a modified Attouch-Peypouquet technique is used to accelerate the iterative computation. These lead to more effective algorithms than the Wirtinger flow (WF) algorithm and the Gauss-Newton (GN) algorithm and etc.. A convergence analysis of both DC based algorithms shows that the iterative solutions is convergent linearly to a critical point and will be closer to a global minimizer than the given initial starting point. Our study is a deterministic analysis while the study for the Wirtinger flow (WF) algorithm and its variants, the Gauss-Newton (GN) algorithm, the trust region algorithm is based on the probability analysis. In particular, the DC based algorithms are able to retrieve solutions using a number $m$ of measurements which is about twice of the number $n$ of entries in the solution with high frequency of successes. When $m\approx n$, the $\ell_1$ DC based algorithm is able to retrieve sparse signals.

研究の動機と目的

• 従来の確率的または確率的でない手法と比較して、より優れた収束性とロバスト性を有する非凸位相再構成問題の解決に挑戦する。
• 位相再構成における非線形最小二乗目的関数を最小化するための、決定論的で凸解析に基づくフレームワークを開発する。
• DC最適化フレームワークに $ \ell_1 $ 正則化を組み込むことで、スパース位相再構成を可能にする。
• 提案されたDCに基づくアルゴリズムに対して理論的収束保証を提供し、臨界点への線形収束を示す。
• 任意の測定ベクトルに対して正確な解が存在しないことを分析し、解が存在する場合の異なる解の数の上限を求める。

提案手法

• 標準的な非線形最小二乗汎関数を $ f = g - h $ の形に分解することで、位相再構成問題を2つの凸関数の差（DC）として定式化し、$ g $ と $ h $ を凸関数とする。
• 非スパースな場合に、Nesterovの加速勾配降下法またはBarzilai-Borwein（BB）法を用いて得られるDC部分問題を解く。
• スパース位相再構成のため、目的関数に $ \ell_1 $-ノルムペナルティを追加し、反復を伴わないソフトしきい値処理を用いた近接勾配法で各部分問題を解く。
• 反復スキームの収束を加速するために、修正版のAttouch-Peypouquet技法を統合する。
• 複素信号を扱うために実数値パrametrization $ \mathbf{z} = \mathbf{x} + i\mathbf{y} $ を用い、収束解析のための目的関数のヘッセ行列を導出する。
• グローバル最小値においてヘッセ行列が半正定値であることを確立し、ユニモジュラー位相の不変性に対応する零空間方向を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定論的でDCに基づく最適化フレームワークは、Wirtinger Flow などの確率的アルゴリズムを上回ることができるか？
• RQ2 提案されたDC法を用いた場合、特にスパースケースにおいて、成功した再構成に必要な最小測定数 $ m $ は何か？
• RQ3 $ \ell_1 $ 正則化の導入が、DCアルゴリズムの性能と再構成閾値に与える影響は何か？
• RQ4 与えられた測定値集合に対して、位相再構成問題が解を持たない条件は何か？
• RQ5 与えられた測定値集合に対して解が存在する場合、異なる解の数の上限は何か？

主な発見

• 提案されたDCに基づくアルゴリズムは、初期推定値から反復が単調に改善され、臨界点への線形収束を達成する。
• 特に決定論的設定において、収束速度と成功確率の両面でWirtinger Flow やガウス＝ニュートン法を上回る性能を示す。
• 一般の位相再構成において、$ m \approx 2n $ 測定値で高い成功確率を達成し、既知の理論的下限と一致する。
• スパース信号の場合は、$ \ell_1 $-正則化付きDCアルゴリズムが $ m \approx n $ 測定値で信号を再構成でき、圧縮センシングに類似した挙動を示す。
• 本稿では、目的関数のヘッセ行列がグローバル最小値において半正定値であることを証明し、ユニモジュラー位相の不変性に対応する零空間方向が存在することを示している。
• 本稿では、任意の測定値に対して位相再構成問題の解が存在しない可能性があり、解が存在する場合でも、異なる解の数が上界で制限されることを確立している。