[論文レビュー] On decay and blow-up of solutions for a singular nonlocal viscoelastic problem with a nonlinear source term

Wenjun Liu, Yun Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2013

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非線形源項および減衰を伴う特異的非局所的線粘性方程式を、ポテンシャル井戸理論、修正された凸性法、および摂動エネルギー技法を用いて研究する。初期データが安定集合に属する場合、グローバル存在および一般減衰を確立する。初期データが不安定集合に属する場合、初期エネルギーの符号に関わらず、有限時間 blow-up を示す。これは、従来の結果をより広い条件下で拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper we consider a singular nonlocal viscoelastic problem with a nonlinear source term and a possible damping term. We proved that if the initial data enter into the stable set, the solution exists globally and decays to zero with a more general rate, and if the initial data enter into the unstable set, the solution with non-positive initial energy as well as positive initial energy blows up in finite time. These are achieved by using the potential well theory, the modified convexity method and the perturbed energy method.

研究の動機と目的

• 特異的非局所的線粘性方程式に非線形源項および可能なかぎりの減衰を含む解の長期的挙動を分析すること。
• 解がグローバルに存在し、ゼロに減衰するか、有限時間で blow up する条件を特定すること。
• 非正および正の初期エネルギーの両方のケースを考慮することで、従来の減衰および blow-up 結果を拡張すること。
• エネルギーに基づく手法を用いて、安定集合における解の一般減衰率を確立すること。
• 初期エネルギーが非正または正であっても、不安定集合に属する解の blow-up 結果を証明すること。

提案手法

• ポテンシャル井戸理論を用いて、エネルギーおよび初期条件に基づき初期データを安定集合と不安定集合に分類する。
• 修正された凸性法を用いて、エネルギーの時間発展を支配する微分不等式を導出する。
• 摂動エネルギー法を用いて、減衰および blow-up 動態を捉える関数を構築する。
• 一般条件を満たす緩和関数 $ g $ を仮定し、特に $ g' \leq -\xi(t)g^r(t) $ かつ $ r \in (1, \frac{3}{2}) $ を満たすようにする。これにより、一般減衰率を許容する。
• エネルギー関数と $ u_t^2 $、$ |u|^p $、および $ (g \circ u_x) $ を含む重み付き積分を組み合わせることで、エネルギー推定を導出する。
• 時間関数 $ \xi(t) $ を含む微分不等式の積分により、エネルギーおよび解ノルムの漸近的上限を確立し、減衰および blow-up を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的非局所的線粘性問題の解が、どのような条件下でグローバルに存在し、ゼロに減衰するか？
• RQ2 初期エネルギーが非正または正であっても、解が有限時間で blow up する条件は何か？
• RQ3 緩和関数 $ g $ は、解エネルギーの減衰率にどのように影響するか？
• RQ4 初期エネルギーが正である場合の blow-up 結果を、負エネルギーに限らず拡張できるか？
• RQ5 $ g' \leq -\xi(t)g^r(t) $ といった弱い仮定のもとで、どのような一般減衰率が達成可能か？

主な発見

• 初期データが安定集合に属する解は、$ r \in (1, \frac{3}{2}) $ かつ $ g' \leq -\xi(t)g^r(t) $ の条件下で、グローバルに存在し、緩和関数 $ g $ に依存する一般減衰率でゼロに減衰する。
• 初期データが不安定集合に属する場合、初期エネルギーの符号に関わらず、解は有限時間で blow up する。
• 解のエネルギーに対する一般減衰率 $ E(t) \leq C(1 + \int_{t_0}^t \xi(s)ds)^{-(r-1)^{-1}} $ を確立した。これは多項式的および指数的減衰を特別な場合として含む。
• 重要な推定式 $ F'(t) \leq -C_7 \xi(t) F^r(t) $ を導出し、漸近的減衰上限 $ F(t) \leq C_8(1 + \int_{t_0}^t \xi(s)ds)^{-(r-1)^{-1}} $ を得た。ここで $ F(t) $ は摂動エネルギー関数である。
• 非正および正の初期エネルギーの両方に対して、blow-up 結果を証明した。これは、従来の研究が負エネルギーに限っていたのを改善するものである。
• 非線形源項 $ |u|^{p-2}u $、減衰項 $ au_t $、記憶項 $ \int_0^t g(t-s) \frac{1}{x}(x u_x(x,s))_x ds $ の間の相互作用が、解の長期的挙動を決定することが確認された。